Question

如圖1所示，兩根足夠長、電阻不計的平行光滑金屬導軌相距為L₁=1m，導軌平面與水平面成θ=30°角，上端連接阻值R=1.5Ω的電阻；質量為m=0.2kg、阻值r=0.5Ω的金屬棒ab放在兩導軌上，距離導軌最上端為L₂=4m，棒與導軌垂直并保持良好接觸．整個裝置處于一勻強磁場中，該勻強磁場方向與導軌平面垂直，磁感應強度大小隨時間變化的情況如圖2甲所示．一開始為保持ab棒靜止，在棒上施加了一平行于導軌平面的外力F，已知當t=2s時，F恰好為零．求：
（1）當t=2s時，磁感應強度B的大��；
（2）當t=3s時，外力F的大小和方向；
（3）當t=4s時，突然撤去外力F，當金屬棒下滑速度達到穩定時，導體棒ab兩端的電壓為多大；
（4）請在圖2乙中畫出前4s外力F隨時間的變化情況．

Answer 1

分析：（1）由圖甲看出，B隨時間均勻變化，回路中產生恒定的感應電動勢和感應電流．根據法拉第電磁感應定律、歐姆定律推導出安培力的表達式，在t=2s時，外力F為零，導體棒處于靜止狀態，由平衡條件即可求解B；
（2）由圖得到B的大�。�由F=BIL求得安培力的大小，由平衡條件求解外力的大小和方向；
（3）撤去外力F，當金屬棒下滑速度達到穩定時做勻速運動，由平衡條件求出回路中的感應電流大小，即可由歐姆定律求出導體棒ab兩端的電壓；
（4）根據外力F隨時間的表達式，畫出圖象．

解答：解：（1）回路中產生的感應電動勢為E=

△φ

△t

=L₁L₂

△B

△t

=L₁L₂

B2

2

，
感應電流為  I=

E

R+r

=L₁L₂

B2

2(R+r)

，
在t=2s時刻，外力F=0，由平衡條件得
  mg sin30°=B₂IL₁=L₁²L₂

B2

2(R+r)

，
可解得B₂=1T，
（2）當t=3s時，由圖可知B₃=1.5 T，則由平衡條件得
外力F=B₃IL₁-mg sin30°=B₃L₁²L₂

B2

2(R+r)

-mg sin30°=0.5N，方向沿斜面向下
（3）當t=4s時，突然撤去外力F，當金屬棒下滑速度達到穩定時做勻速直線運動，則有
  mg sin30°=BIL₁，
解得，I=

mgsin30°

BL1

=0.67 A，導體棒ab兩端電壓為 U=IR=1V
（4）在前3s內，由平衡條件得：
  mg sin30°=BIL₁+F，得F=mg sin30°-BIL₁
而B=0.5t（T），I=L₁L₂

B2

2(R+r)

=1×4×

1

2(1.5+0.5)

A=1A，
得到F=1-0.5t
在t=3s后，B不變，則F不變．
作出圖象如圖．
答：
（1）當t=2s時，磁感應強度B的大小是1T；
（2）當t=3s時，外力F的大小是0.5N，方向沿斜面向下．
（3）當t=4s時，突然撤去外力F，當金屬棒下滑速度達到穩定時，導體棒ab兩端的電壓為1V．
（4）畫出前4s外力F隨時間的變化情況如圖．

點評：本題的解題關鍵有兩點：一是根據法拉第電磁感應定律和歐姆定律，求解感應電流．二是推導安培力，再由平衡條件求解外力．