Question

如圖所示，兩足夠長平行光滑的金屬導軌MN、PQ相距為L，導軌平面與水平面夾角為α，導軌電阻不計．磁感應強度為B的勻強磁場垂直導軌平面斜向上，長為L的金屬棒ab垂直于MN、PQ放置在導軌上，且始終與導軌接觸良好，金屬棒的質量為m、電阻為R．兩金屬導軌的上端連接右側電路，電路中R₂為一電阻箱，已知燈泡的電阻R_L=4R，定值電阻R₁=2R，調節電阻箱使R₂=12R，重力加速度為g，閉合開關S，現將金屬棒由靜止釋放，求：

（1）金屬棒下滑的最大速度v_m；
（2）當金屬棒下滑距離為s₀時速度恰好達到最大，則金屬棒由靜止開始下滑2s₀的過程中，整個電路產生的電熱；
（3）改變電阻箱R₂的值，當R₂為何值時，金屬棒達到勻速下滑時R₂消耗的功率最大．

Answer 1

分析：閉合開關S，金屬棒由靜止釋放，沿斜面下滑切割磁感線，產生電動勢E=BLv，相當于電源給電路供電，隨著速度的增大電動勢增大，當速度達到最大值時，導體棒勻速運動，由受力平衡求出v_m，由功能關系求出電熱，由閉合電路求出R₂的功率，由二次函數求出最大值．

解答：解：（1）當金屬棒勻速下滑時速度最大，達到最大時有
        mgsinα=F_安                                     
        F_安=BIL                                       
        I=

BLvm

R總

                                     
       其中　R_總=6R                                        
        聯立各式得金屬棒下滑的最大速度v_m=

6mgRsinα

B2L2

（2）由動能定理W_G-W_安=

1

2

mv_m²                         
         由于W_G=2mgs₀ sinα   W_安=Q                              
         解得Q=2mgs₀sinα-

1

2

mv_m²
     將代入上式可得   Q=2mgs₀sinα-

18m3g2R2sin2α

B4L4

也可用能量轉化和守恒求解：mg2s0sinα=Q+

1

2

m

v

2 m

再聯立各式得Q=2mgs₀sinα-

18m3g2R2sin2α

B4L4

（3）金屬棒勻速下滑受力平衡
       mgsinα=BIL                                       
       P₂=I₂²R₂ 
        由電路分析得  I2=

4R

R2+4R

I
聯立得P2=(

4Rmgsinα

(R2+4R)BL

)2R2P2=

16R2R2

R 2 2 +8RR2+16R2

(

mgsinα

BL

)2

P2= 16R2 R2+8R+ 16R2 R2 ( mgsinα BL )2

當R2=

16R2

R2

，即R₂=4R時，R₂消耗的功率最大        
答：（1）金屬棒下滑的最大速度v_m=

6mgRsinα

B2L2

（2）當金屬棒下滑距離為s₀時速度恰好達到最大，則金屬棒由靜止開始下滑2s₀的過程中，整個電路產生的電熱2mgs₀sinα-

18m3g2R2sin2α

B4L4

；
（3）改變電阻箱R₂的值，當R₂=4R時，金屬棒達到勻速下滑時R₂消耗的功率最大．

點評：考查了電磁感應定律的綜合應用，閉合電路歐姆定律，受力平衡等．