Question

【題目】（1）科學家發現，除了類似太陽系的恒星-行星系統，還存在許多雙星系統，通過對它們的研究，使我們對宇宙有了較深刻的認識。雙星系統是由兩個星體構成，其中每個星體的線度（直徑）都遠小于兩星體間的距離，一般雙星系統距離其它星體很遠，可以當做孤立系統處理。已知某雙星系統中每個星體的質量都是M0，兩者相距L，它們正圍繞兩者連線的中點做勻速圓周運動，引力常量為G。

①求該雙星系統中每個星體的線速度大小v；

②如果質量分別為m1和m2的質點相距為r時，它們之間的引力勢能的表達式為，求該雙星系統的機械能。

（2）微觀世界與宏觀世界往往存在奇妙的相似性。對于氫原子模型，因為原子核的質量遠大于電子質量，可以忽略原子核的運動，形成類似天文學中的恒星-行星系統，記為模型Ⅰ。另一種模型認為氫原子的核外電子并非繞核旋轉，而是類似天文學中的雙星系統，核外電子和原子核依靠庫侖力作用使它們同時繞彼此連線上某一點做勻速圓周運動，記為模型Ⅱ。假設核外電子的質量為m，氫原子核的質量為M，二者相距為r，靜電力常量為k，電子和氫原子核的電荷量均為e。已知電荷量分別為+q1和-q2的點電荷相距為r時，它們之間的電勢能的表達式為。

①模型Ⅰ、Ⅱ中系統的能量分別用EⅠ、 EⅡ表示，請推理分析，比較EⅠ、 EⅡ的大小關系；

②模型Ⅰ、Ⅱ中電子做勻速圓周運動的線速度分別用vⅠ、vⅡ表示，通常情況下氫原子的研究采用模型Ⅰ的方案，請從線速度的角度分析這樣做的合理性。

Answer 1

【答案】（1）①②（2）①②模型Ⅰ的簡化是合理的

【解析】（1）①，解得

②雙星系統的動能，雙星系統的引力勢能，該雙星系統的機械能E=Ek+Ep=

（2）①對于模型Ⅰ：，此時電子的動能EkⅠ=

又因電勢能，所以EⅠ= EkⅠ+EpⅠ=

對于模型Ⅱ：對電子有： ， 解得

對于原子核有： ， 解得

因為r1+r2=r，所以有

解得EkⅡ=

又因電勢能，所以EⅡ= EkⅡ+EpⅡ=

即模型Ⅰ、Ⅱ中系統的能量相等，均為

②解法一：

模型Ⅰ中：對于電子繞原子核的運動有，解得

模型Ⅱ中：

對電子有： ， 解得

對于原子核有： ，

因ω1=ω2，所以mvⅡ=Mv

又因原子核的質量M遠大于電子的質量m，所以vⅡ>>v，所以可視為M靜止不動，因此ω1=ω2=ω，即可視為vⅠ=vⅡ。故從線速度的角度分析模型Ⅰ的簡化是合理的。

②解法二：

模型Ⅰ中：對于電子繞原子核的運動有，解得

模型Ⅱ中：

庫侖力提供向心力： ………..（1）

解得；

又因為r1+r2=r所以

帶入（1）式： ，

所以：

又因原子核的質量M遠大于電子的質量m，所以vⅡ>>v，所以可視為M靜止不動；故從線速度的角度分析模型Ⅰ的簡化是合理的。