Question

（2011?浙江一模）如圖所示是游樂場中過山車的實物圖片，左圖所示是過山車的簡化模型圖．在模型圖中水平傾角都為α=37°，斜軌道AB、CD、EF與豎直光滑圓形（圓弧）軌道圓滑連接．B、C、D、E、F為對應的切點．其中兩個圓軌道半徑分別為R₁=6.0m和R₃=3.0m，中間圓弧軌道的半徑為R₂．且兩圓形軌道的最高點P、Q與A、D、E點平齊．現使小車（視作質點）從A點以一定的初速度沿斜面向下運動．已知斜軌道面與小車間的動摩擦因數為μ=1/24，g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8，tan18.5⁰=1/3．問：
（1）若小車恰好能通過第一個圓形軌道的最高點P處，則其在A點的初速度v₀應為多大？
（2）若在（1）問情況下小車能安全到達E點，則能否安全通過第三個圓形軌道的Q點？
（3）若小車在A點的初速度為10

2

m/s，且R₂=10m則小車能否安全通過整段軌道？

Answer 1

分析：（1）小車恰好能通過第一個圓形軌道的最高點P處，知道在P點小車的重力提供向心力，可求出P點的速度．根據幾何關系求出AB的距離，然后對A到P運用動能定理求解．
（2）求出通過Q點的最小速度，然后對A到Q過程運用動能定理求出Q的速度，與Q點的最小速度進行比較，即可判斷能否安全通過第三個圓形軌道的Q點．
（3）小車在A點的初速度為10

2

m/s，首先與第一問中的初速度比較，看能否安全通過第一個圓軌道；求出G點的最大速度，因為速度過大，會脫離軌道，然后對A到G運用動能定理求出G點的速度，與G點的最大速度進行比較，來判斷能否安全通過．

解答：解：（1）小車恰好過P點，故有             mg=m

vp2

R1

得 　　vp=

gR1

  　
   小車由A到P的過程，由動能定理有
   -μmgcosα?SAB=

1

2

mvp2-

1

2

mv02　　 
由幾何關系可得
               SAB=

R1

tan α 2

       
由上面三個式子，并代入數據得
            　v0=6

2

m/s  　
（2）設小車能夠通過Q點，則A到Q由動能定理得
-μmgcosα（2S_AB+S_EF）=

1

2

mvQ2-

1

2

mv02   
其中  SEF=

R3

tan α 2

代入數據可得
      vQ=

42

m/s  
而車恰好能過Q點時，在Q點的速度為 vQ′=

gR3

=

30

m/s   
vQ=

42

m/s＞vQ′
故小車能安全通過第三圓軌道      
（3）小車以v=10

2

m/s的初速度從P點下滑時，因為有v=10

2

m/s＞v0=6

2

m/s
所以，小車可以通過第一圓形軌道       
設小車到中間圓弧最高點G的速度為v_G，則A到G由動能定理得
-μmgcosα2S_AB-mgh=

1

2

mvG2-

1

2

mv2   
其中  h=R₂（1-cosα）
代入數據可得 vG=

136

m/s    
小車在最高點要不脫離軌道必須滿足vG′＜

gR2

=10m/s
所以小車在中間軌道上有脫離軌道的危險．即小車不能安全通過整段軌道．

點評：解決本題的關鍵知道在內軌道的最高點有最小速度，在外軌道的最高點有最大速度，否則會脫離軌道．以及會適當地選擇研究過程，運用動能定理進行求解．