Question

【題目】圖示為倉庫中常用的皮帶傳輸裝置示意圖，它由兩臺皮帶傳送機組成，一臺水平傳送，A、B 兩端相距3m ，另一臺傾斜，傳送帶與地面的傾角θ= 37°，C、D 兩端相距4.45m， B、C相距很近。水平部分AB 以5m/s的速率順時針轉動。將質量為10 kg 的一袋大米輕放在A 端，到達B 端后，速度大小不變地傳到傾斜的CD 部分，米袋與傳送帶間的動摩擦因數均為0.5．試求：(已知sin37＝0.6，cos37＝0.8， g取10 m/s2 ，=2.450，=2.68)

(1)若CD部分傳送帶不運轉，求米袋沿傾斜傳送帶所能上升的最大距離．

(2)若要米袋能被送到D 端，求CD 部分順時針運轉的速度應滿足的條件及米袋從C 端到D 端所用時間的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1)能滑上的最大距離 (2)要把米袋送到D點，CD部分的速度 時間t的范圍為

【解析】

（1）由牛頓第二定律可求得米的加速度，因米袋的最大速度只能為5m/s，則應判斷米袋到達B點時是否已達最大速度，若沒達到，則由位移與速度的關系可求得B點速度，若達到，則以5m/s的速度沖上CD；在CD面上由牛頓第二定律可求得米袋的加速度，則由位移和速度的關系可求得上升的最大距離；

（2）米袋在CD上應做減速運動，若CD的速度較小，則米袋的先減速到速度等于CD的速度，然后可能減小到零，此為最長時間；而若傳送帶的速度較大，則米袋應一直減速，則可求得最短時間；

（1）米袋在AB上加速時的加速度a0＝＝μg＝5m/s2
米袋的速度達到v0=5m/s時，滑行的距離s0==2.5m＜AB=3m，
因此米袋在到達B點之前就有了與傳送帶相同的速度；設米袋在CD上運動的加速度大小為a，由牛頓第二定律得mgsinθ+μmgcosθ=ma
代入數據得a=10 m/s2
所以能滑上的最大距離s＝＝1.25m
（2）設CD部分運轉速度為v1時米袋恰能到達D點（即米袋到達D點時速度恰好為零），則米袋速度減為v1之前的加速度為a1=-g（sinθ+μcosθ）=-10 m/s2
米袋速度小于v1至減為零前的加速度為a2=-g（sinθ-μcosθ）=-2 m/s2
由

解得v1=4m/s，即要把米袋送到D點，CD部分的速度vCD≥v1=4m/s
米袋恰能運到D點所用時間最長為

若CD部分傳送帶的速度較大，使米袋沿CD上滑時所受摩擦力一直沿皮帶向上，則所用時間最短，此種情況米袋加速度一直為a2．
由SCD=v0tmin+a2t2min，得：tmin=1.16s
所以，所求的時間t的范圍為1.16 s≤t≤2.1 s；