Question

【題目】(2015新課標全國Ⅱ，25)下暴雨時，有時會發生山體滑坡或泥石流等地質災害．某地有一傾角為θ＝37°(sin 37°＝)的山坡C，上面有一質量為m的石板B，其上下表面與斜坡平行；B上有一碎石堆A(含有大量泥土)，A和B均處于靜止狀態，如圖所示．假設某次暴雨中，A浸透雨水后總質量也為m(可視為質量不變的滑塊)，在極短時間內，A、B間的動摩擦因數μ1減小為，B、C間的動摩擦因數μ2減小為0.5，A、B開始運動，此時刻為計時起點；在第2 s末，B的上表面突然變為光滑，μ2保持不變．已知A開始運動時，A離B下邊緣的距離l＝27 m，C足夠長，設最大靜摩擦力等于滑動摩擦力．取重力加速度大小g＝10 m/s2.求：

(1)在0～2 s時間內A和B加速度的大小；

(2)A在B上總的運動時間．

Answer 1

【答案】(1)3 m/s2 1 m/s2 (2)4 s

【解析】(1)在0～2 s時間內，A和B的受力如圖所示，其中Ff1、FN1是A與B之間的摩擦力和正壓力的大小，Ff2、FN2是B與C之間的摩擦力和正壓力的大小，方向如圖所示．由滑動摩擦力公式和力的平衡條件得

Ff1＝μ1FN1 ①

FN1＝mgcos θ ②

Ff2＝μ2FN2 ③

FN2＝FN1＋mgcos θ ④

規定沿斜面向下為正.設A和B的加速度分別為a1和a2，由牛頓第二定律得

mgsin θ－Ff1＝ma1 ⑤

mgsin θ－Ff2＋Ff1＝ma2 ⑥

聯立①②③④⑤⑥式，并代入題給條件得

a1＝3 m/s2 ⑦

a2＝1 m/s2 ⑧

(2)在t1＝2 s時，設A和B的速度分別為v1和v2，則

v1＝a1t1＝6 m/s ⑨

v2＝a2t1＝2 m/s ⑩

2 s后，設A和B的加速度分別為a1′和a2′.此時A與B之間摩擦力為零，同理可得

a1′＝6 m/s2

a2′＝－2 m/s2

由于a2′＜0，可知B做減速運動．設經過時間t2，B的速度減為零，則有

v2＋a2′t2＝0

聯立⑩式得t2＝1 s

在t1＋t2時間內，A相對于B運動的距離為

x＝－＝12 m＜27 m

此后B靜止不動，A繼續在B上滑動．設再經過時間t3后A離開B，則有

l－x＝(v1＋a1′t2)t3＋a1′t

可得t3＝1 s(另一解不合題意，舍去)

設A在B上總的運動時間t總，有

t總＝t1＋t2＋t3＝4 s