Question

一個圓柱形的豎直的井里存有一定量的水，井的側面和底部是密閉的.在井中固定地插著一根兩端開口的薄壁圓管，管和井共軸，管下端未觸及井底.在圓管內有一不漏氣的活塞，它可沿圓管上下滑動.開始時，管內外水面相齊，且活塞恰好接觸水面，如圖5-8-9所示.現有卷揚機通過繩子對活塞施加一個向上的力F，使活塞緩慢向上移動.已知管筒半徑r=0.100 m，井的半徑R=2r，水的密度ρ=1.00×10³ kg/m³，大氣壓p₀=1.00×10⁵ Pa，求活塞上升H=9.00 m的過程中拉力F所做的功.（井和管在水面以上及水面以下的部分都足夠長，不計活塞質量，不計摩擦，重力加速度g取10 m/s²）

圖5-8-9

Answer 1

解析：大氣壓p₀能夠支承的水柱高度為h₀，h₀==10 m，從開始提升到活塞升至管內外水面高度差為10 m的過程中，活塞始終與管內液體接觸（再提升活塞時，活塞和水面之間將出現真空，另行討論）.設活塞上升距離為h₁，管外液面下降距離為h₂，

h₀=h₁+h₂                                ①

    因液體體積不變，有

h₂=h₁(                 ②

    由①②得

h₁=×10 m=7.5 m                  ③

    題給H=9 m＞h₁，由此可知活塞再上升最后1.5 m高度過程中，活塞與水面之間出現真空，活塞移動距離從零到h₁的過程中，對于水和活塞這個整體，其機械能的增量應等于除重力外其他所做的功，因為活塞緩慢上移始終無動能，所以機械能的增量也就等于重力勢能增量，

即ΔE=ρ(πr²h₁)g                       ④

    其他力有管內、外的大氣壓力和拉力F，因為液體不可壓縮，所以管內、外大氣壓做的總功p₀π(R²-r²)h₂-p₀πr²h₁=0，故外力做的功就只是拉力F做的功，由功能關系可知

W₁=ΔE                                 ⑤

W₁=ρ(πr²)g=1.8×10⁴ J      ⑥

    活塞移動距離從h₁到H的過程中，液面不變，F是恒力，F=πr²p₀，做功

W₂=F(H-h₁)=πr²p₀(H-h₁)=4.71×10³⁴ J，故所求拉力F做的總功為

W₁+W₂=1.65×10⁴ J.

答案：1.65×10⁴ J