Question

（2013?湖北模擬）如圖甲所示，真空室中電極K發出的電子（初速度不計）經過電勢差為UΘ的加速電場加速后，沿兩水平金屬板C、D間的中心線射入兩板間的偏轉電場，最后打在熒光屏上．C、D兩板間的電勢差U_CD隨時間變化的圖象如圖乙所示，設C、D間的電場可看作勻強電場，且兩板外無電場．已知電子的質量為m、電荷量為e（重力不計），C、D極板長為l，板間距離為d，偏轉電壓UΡ，熒光屏距C、D右端的距離為

1

6

，所有電子都能通過偏轉電極．
（1）求電子通過偏轉電場的時間t₀；
（2）若U_CD的周期T=t₀，求熒光屏上電子能夠到達的區域的長度；
（3）若U_CD的周期T=2t₀，求到達熒光屏上O點的電子的動能．

Answer 1

分析：（1）電子先AB板間電場加速，后進入CD板間電場偏轉做類平拋運動，最后離開電場而做勻速直線運動．先由動能定理求出加速獲得的速度．電子在偏轉電場中，水平方向做勻速直線運動，由公式x=vt求時間．
（2）當T=t₀時，所有電子在偏轉電場中運動過程，豎直方向加速半個周期，減速半個周期，最終水平飛出射出電場．t=0時刻進入的電子向上側移距離最大．根據牛頓第二定律和運動學公式結合求出最大的偏轉距離，向下偏轉的最大距離等于向上偏轉的最大距離．即可得到熒光屏上電子能夠到達的區域的長度；
（3）當T=2t₀時，電子要到達O點必須在豎直方向有先加速后減速再反向加速過程，并且加速大小相等，整個過程向上的位移和向下的位移大小相等，根據位移相等，由運動學公式求出向上加速的時間，求得豎直方向偏轉的距離，根據動能定理求解到達熒光屏上O點的電子的動能．

解答：解：（1）電子在電場加速過程  U₁e=

1

2

m

v

2 0

     ①
在偏轉電場中運動，水平方向勻速運動  
   v₀t₀=l     ②
由①②得  t₀=l

m 2U1e

（2）當T=t₀時，所有電子在偏轉電場中運動過程，豎直方向加速半個周期，減速半個周期，最終水平飛出．由豎直方向速度時間圖象得，t=0時刻進入的電子向上側移距離最大．
 y_上=

1

2

U2e

dm

(

t0

2

)2×2=

U2l2

8dU1

同理得向下側移距離最大值，
  y_下=

1

2

U2e

dm

(

t0

2

)2=

U2l2

8dU1

所以電子達到的區域長△y=y_上+y_下=

U2l2

4dU1

（3）當T=2t₀時，電子要到達O點必須在豎直方向有先加速后減速再反向加速過程，并且加速大小相等，整個過程向上的位移和向下的位移大小相等，設向上加速時間為△t，加速度大小為a，則在豎直方向上有
  y_上=

1

2

at2×2  ③
  y_下=

1

2

a（t₀-2△t）²+a（t₀-2△t）

l

v06

  ④
要到達O點  y_上=y_下  ⑤
聯立②③④⑤得△t=

t0

3

所以到達O點的電子經過偏轉電場時電子做功，
 W=qEy=qE?

1

2

a(t0-2△t)2=

U2e

d

?

U2e

2dm

(t0-2△t)2=

e U 2 2 l2

36U1d2

電子從K到O過程由動能定理得：
 E_k=U₁e+W=U₁e+

e U 2 2 l2

36U1d2

答：
（1）電子通過偏轉電場的時間t₀為l

m 2U1e

．
（2）若U_CD的周期T=t₀，熒光屏上電子能夠到達的區域的長度為

U2l2

4dU1

；
（3）若U_CD的周期T=2t₀，到達熒光屏上O點的電子的動能為U₁e+

e U 2 2 l2

36U1d2

．

點評：本題是電子在周期性電場中運動的類型，分析運動過程是關鍵，再運用牛頓第二定律和運動學公式求解．