Question

（2009?肇慶一模）我國執行首次載人航天飛行的神州五號飛船于2003年10月15日在中國酒泉衛星發射中心發射升空．飛船由長征-2F運載火箭先送入近地點為A、遠地點為B的橢圓軌道，在B點實施變軌后，再進入預定圓軌道，如圖所示．已知飛船在預定圓軌道上飛行n圈所用時間為t，近地點A距地面高度為L₁，地球表面重力加速度為g，地球半徑為R，求：
（1）飛船在近地點A的加速度a_A為多大？
（2）遠地點B距地面的高度L₂為多少？

Answer 1

分析：（1）可以先由重力加速度的表達式求出地球質量，然后直接根據牛頓第二定律求解加速度；
（2）根據飛n圈的時間為t，先求出周期，再由在預定軌道上時萬有引力等于向心力求出預定軌道的軌道半徑，最后得出B點的高度．

解答：解：（1）設地球質量為M，飛船的質量為m，在A點受到的地球引力為
                   F=G

mM

(R+L1)2

地球表面的重力加速度
                  g=G

M

R2

又由牛頓第二定律
                  F=ma
聯立以上三式得    
                   aA=

F

m

=

GM

(R+L1)2

=

R2g

(R+L1)2

飛船在近地點A的加速度a_A為

R2g

(R+L1)2

．
（2）飛船在預定圓軌道飛行的周期
                   T=

t

n

由牛頓運動定律得
                   G

Mm

(R+L2)2

=m(

2π

T

)2(R+L2)    
聯立解得     
                    L2= 3

gR2t2 4π2n2

-R  
遠地點B距地面的高度L₂為 3

gR2t2 4π2n2

-R．

點評：衛星在橢圓軌道運行時的加速度目前只能根據牛頓第二定律求解；衛星的軌道半徑與線速度、角速度、周期對應！