Question

如圖7-7-5所示，離地高為H的物體A通過跨在定滑輪上的輕繩與放在光滑水平桌面上、質量和A相同的物體B連接，由靜止開始下落和從同一高度單獨自由下落這兩種情況下，A離地面的高度h分別為多少時，它的動能與勢能相等？（設B沒有滑離桌面）

圖7-7-5

Answer 1

A物體動能與勢能相等時離地面的高度分別為和.

當物體A單獨自由下落時，由于只有重力做功，A的機械能守恒.當A通過繩子連接B后再下落時，若選A（包括地球）為研究對象，則繩對A的拉力是系統之外的力，而且該力對A做了功，則A的機械能不守恒；若以A、B連接體（包括地球）組成的系統為研究對象時，繩的拉力為內力，且對A和B做功的代數和為零，B物體在豎直方向上所受的一對平衡力沒有做功，故該系統在運動過程中只有A的重力做功，滿足機械能守恒的條件.因此本題可運用機械能守恒定律求解：
取地面為零勢能參考平面，設A離地高度為h時，其動能等于勢能，則有

當A物體單獨自由下落時，初始機械能為E₁=mgH，末態時機械能為，由機械能守恒E₂=E₁得mgH=2mgh.
所以
當A通過繩子連接B后再由靜止下落時，設桌面高為H′，則初態系統的機械能為E₁=mgH+mgH′，末了狀態系統的機械能為，根據機械能守恒定律得E₂=E₁，即

將代入上式，解得

即兩種情況下，A物體動能與勢能相等時離地面的高度分別為和.