Question

如圖甲所示，在x＞0的空間中存在沿y軸負方向的勻強電場和垂直于xOy平面向里的勻強磁場，電場強度大小為E，磁感應強度大小為B；一質量為m、帶電量為q（q＞0）的粒子從坐標原點O處，以初速度v₀沿x軸正方向射入，粒子的運動軌跡見圖甲，不計粒子的重力．

（1）求該粒子運動到y=h時的速度大小v．
（2）現只改變入射粒子初速度的大小，發現初速度大小不同的粒子雖然運動軌跡（y-x曲線）不同，但是，沿x軸方向具有相同的空間周期性，如圖乙所示；同時，這些粒子在y軸方向的運動具有相同的時間周期性，即都有相同的周期T=

2πm

qB

其y-t圖象如圖丙所示．試求粒子在一個周期T內，沿x軸方向前進的距離s．
（3）現只改變入射粒子初速度的大小，發現初速度大小不同的粒子雖然運動軌跡（y-x曲線）不同，但是，對任一個軌跡來說，粒子在y=0處和在y方向的最大位移y_m處所受的合外力總是大小相等、方向相反．試求當入射粒子的初速度大小為2v₀時，該粒子在y方向的最大位移y_m．

Answer 1

分析：（1）粒子在運動的過程中只有電場力做功，根據動能定理求出粒子運動到y=h時的速度大小v．
（2）通過圖乙可知，所有粒子在一個周期T內沿x軸方向前進的距離相同，即都等于恰好沿x軸方向做勻速直線運動的粒子在T時間內前進的距離s．根據qv₁B=qE求出粒子沿x軸方向勻速運動的速度，從而得出一個周期內沿x軸方向運動的位移．
（3）粒子在y=0處和在y方向的最大位移y_m處所受的合外力大小相等、方向相反，有q?2v₀?B-qE=-（qv₂B-qE），結合動能定理求出在y方向的最大位移y_m

解答：解：（1）由于洛倫茲力不做功，只有電場力做功，由動能定理得：
-qEh=

1

2

mv2-

1

2

mv02…（1）
解得：v=

v02- 2qEh m

…（2）
（2）由圖乙可知，所有粒子在一個周期T內沿x軸方向前進的距離相同，即都等于恰好沿x軸方向做勻速直線運動的粒子在T時間內前進的距離s．設粒子恰好沿x軸方向做勻速直線運動的速度大小為v₁，則：
qv₁B=qE…（3）
又：s=v₁T…（4）
T=

2πm

qB

…（5）
聯立（3）（4）（5）式解得：s=

2πmE

qB2

…
（3）設粒子在y方向的最大位移為y_m，粒子運動的速度大小為v₂（方向沿x軸），根據該粒子在y=0處和在y方向的最大位移y_m處所受的合外力大小相等、方向相反，可得：
q?2v₀?B-qE=-（qv₂B-qE）…（6）
由動能定理得：
-qEym=

1

2

mv22-

1

2

m(2v0)2…（7）
聯立（6）（7）兩式解得：
ym=

2m

qB

(2v0-

E

B

)．
答：（1）該粒子運動到y=h時的速度大小v=

v02- 2qEh m

．
（2）粒子在一個周期T內，沿x軸方向前進的距離s=

2πmE

qB2

．
（3）粒子在y方向的最大位移ym=

2m

qB

(2v0-

E

B

)．

點評：本題考查了帶電粒子在復合場中的運動，過程較復雜，關鍵理清粒子的運動軌跡，結合動能定理和洛倫茲力和電場力知識進行解決．