Question

（2009?潮州三模）在半徑R=5000km的某星球表面，宇航員做了如下實驗，實驗裝置如圖甲所示．豎直平面內的光滑軌道由軌道AB和圓弧軌道BC組成，將質量m=0.2kg的小球，從軌道AB上高H處的某點靜止滑下，用力傳感器測出小球經過C點時對軌道的壓力F，改變H的大小，可測出相應的F大小，F隨H的變化關系如圖乙所示．求：

（1）圓軌道的半徑及星球表面的重力加速度．
（2）該星球的第一宇宙速度．

Answer 1

分析：（1）小球從A到C運動的過程中，只有重力做功，機械能守恒，根據機械能守恒定律和牛頓第二定律求出小球對軌道C點的壓力與H的關系式，然后結合F-H圖線求出圓軌道的半徑和星球表面的重力加速度．
（2）第一宇宙速度與貼著星球表面做勻速圓周運動的速度相等，根據萬有引力等于重力mg=m

v2

R

求出該星球的第一宇宙速度．

解答：解：（1）小球過C點時滿足F+mg=m

vc2

r

  
又根據mg（H-2r）=

1

2

mv_C²      
聯立解得F=

2mg

r

H-5mg          
由題圖可知：H₁=0.5 m時F₁=0；H₂=1.0 m時F₂=5 N；
可解得g=5 m/s²     
r=0.2 m      
（2）據m

v2

R

=mg         
可得v=

Rg

=5×10³ m/s．
故星球的第一宇宙速度為5×10³m/s．
答：（1）圓軌道的半徑為0.2m，月球表面的重力加速度為5m/s²．
（2）星球的第一宇宙速度為5×10³m/s．

點評：本題是牛頓運動定律與機械能守恒定律的綜合題，解決本題的關鍵根據該規律得出壓力F與H的關系式．