Question

如圖所示，水平面上固定有平行導軌，磁感應強度為B的勻強磁場方向豎直向下．同種合金做的導體棒ab、cd橫截面積之比為2：1，長度和導軌的寬均為L，ab的質量為m，電阻為r，開始時ab、cd都垂直于導軌靜止，不計摩擦．給ab一個向右的瞬時沖量I，在以后的運動中，cd的最大速度V_m、最大加速度a_m、產生的電熱各是多少？

Answer 1

分析：首先分析兩棒的受力情況，來判斷它們的運動情況：給ab沖量后，ab獲得速度向右運動，回路中產生感應電流，cd受安培力作用而加速，ab受安培力而減速，當兩者速度相等時，都開始做勻速運動，所以開始時cd的加速度最大，最終cd的速度最大，全過程系統動能的損失都轉化為電能，電能又轉化為內能，先根據電阻定律求出兩棒的電阻之比，得到它們產生的熱量之比．
根據系統的動量守恒求出最大速度v_m．
根據法拉第定律、歐姆定律和安培力公式求出cd的最大加速度a_m．
根據能量守恒求出產生的電熱．

解答：解：給ab沖量后，ab獲得速度向右運動，回路中產生感應電流，cd受安培力作用而加速，ab受安培力而減速，當兩者速度相等時，都開始做勻速運動，所以開始時cd的加速度最大，最終cd的速度最大，全過程系統動能的損失都轉化為電能，電能又轉化為內能．
由于ab、cd橫截面積之比為2：1，材料和長度相同，所以根據電阻定律得知，它們的電阻之比為1：2，質量之比為2：1．所以cd棒的質量為

1

2

m．
由題，由動量定理得：ab的初速度為v₁=

I

m

，兩棒組成的系統所受的合外力為0，動量守恒，則有：
  mv₁=（m+

1

2

m）v_m
解得，最后的共同速度為：v_m=

2I

3m

，
開始運動時又有：E=BLv₁，I=

E

r+2r

，F=BIL，a_m=

F

m 2

=

2F

m

，解得：a_m=

2B2L2I

3m2r

．
據焦耳定律得知：Q=I²Rt∝R，所以cd上產生的電熱應該是回路中產生的全部電熱的

2

3

．
系統統動能的損失為：△E_k=

1

2

m

v

2 1

-

1

2

(m+

1

2

m)

v

2 m

=

I2

6m

，
由能量守恒定律可知，系統產生的電熱總量為：Q=△E_k=

I2

6m

，
其中cd上產生電熱Q_cd=

2

3

Q=

I2

9m

．
答：在以后的運動中，cd的最大速度V_m、最大加速度a_m、產生的電熱各是

2I

3m

，

2F

m

，

I2

9m

．

點評：本題以雙桿模型，分析兩棒的運動情況是解題至關重要的步驟，再根據電磁感應和力學的規律求解．