Question

如圖5-3-8所示為一根豎直懸掛的不可伸長的輕繩，下端拴一小物塊A，上端固定在C點且與一能測量繩的拉力的測力傳感器相連.已知有一質量為m₀的子彈B沿水平方向以速度v₀射入A內(未穿透)，接著兩者一起繞C點在豎直面內做圓周運動.在各種阻力都可忽略的條件下測力傳感器測得繩的拉力F隨時間t的變化關系如圖(b)所示.已知子彈射入的時間極短，且圖b中t＝0為A、B開始以相同速度運動的時刻.根據力學規律和題中(包括圖)提供的信息，對反映懸掛系統本身性質的物理量(例如A的質量)及A、B一起運動過程中的守恒量，你能求出哪些定量的結果？

圖5-3-8

Answer 1

解析：子彈B沿水平方向以速度v₀射入A內(未穿透)，兩者將獲得一個共同速度v₁，v₁和v₀的關系為m₀v₀=(m₀+m₁)v₁，式中m是A的質量.此規律就是以后學到的動量守恒定律.根據圖象可以直接得到A、B共同做圓周運動的周期和在最高點和最低點的繩子的拉力，根據牛頓運動定律可以列出方程.又因為A、B共同運動時遵循機械能守恒定律，根據機械能守恒定律可以找出最高點和最低點的速度關系.

解：由圖(b)可直接看出，A、B一起做周期性運動，運動的周期T=2t₀.

令m表示A的質量，l表示繩長，v₁表示B陷入A內時即t=0 時A、B的速度(即圓周運動最低點的速度)，v₂表示運動到最高點時的速度，F₁表示運動到最低點時繩的拉力，F₂表示運動到最高點時繩的拉力，根據動量守恒定律，得

m₀v₀=(m₀+m)v₁

在最低點和最高點處運用牛頓定律可得F₁-(m+m₀)g=(m+m₀)

F₂+(m+m₀)g=(m+m₀)

根據機械能守恒定律可得2l(m+m₀)g=(m+m₀)v₁²-(m+m₀)v₂²

由圖(b)可知F₂=0,F₁=F_m

由以上各式可解得，反映系統性質的物理量是m=-m₀，l=,

A、B一起運動過程中的守恒量是機械能E，若以最低點為勢能的零點，則E=(m+m₀)v₁²,

解得E=g.