Question

某興趣小組設計了一種實驗裝置，用來研究碰撞問題，其模型如右圖所示。用完全相同的輕繩將N個大小相同、質量不等的小球并列懸掛于一水平桿，球間有微小間隔，從左到右，球的編號依次為1、2、3…….N，球的質量依次遞減，每個球的質量與其相鄰左球質量之比為k(k＜1)。將1號球向左拉起，然后由靜止釋放，使其與2號球碰撞，2號球再與3號球碰撞……所有碰撞皆為無機械能損失的正碰。并假設所有的球作為主動球完成一次碰撞后均由于某種原因與繩脫離并作自由落體運動。(不計空氣阻力，忽略繩的伸長，g取10 m/s²)?
（1）設與n+1號球碰撞前，n號球的速度為v_n，求n+1號球被碰撞后瞬間的速度。?
（2）若N=5，在1號球向左拉高h的情況下，要使5號球碰撞后升高16h（16h小于繩長），問k值為多少？

Answer 1

(1) v _n+1′= （2）k=-1≈0.414

（1）設n號球質量為m_n，n+1號球質量為m_n+1，碰撞后的速度分別為v_n′、v_n+1′，取水平向右為正方向，據題意有n號球與n+1號球碰撞前的速度分別為v_n、0，且m_n+1=km_n?     
根據動量守恒定律，有m_nv_n=m_nv_n′n+km_nv _n+1′①?
根據機械能守恒定律，有m_nv_n²=m_nv _n′²+km_nv _n+1′²       ②?  
由①②得v _n+1′=(v _n+1′=0舍去)?   
（2）設1號球擺至最低點時的速度為v₁，由機械能守恒定律有?m₁gh=m₁v₁² ④?? 
解得              v₁= ⑤? 
同理可求5號球碰后瞬間的速度?v₅= ⑥??
設n+1號球與n+2號球碰前的速度為v_n+1??據題意有v_n+1=v _n+1′[
v_n+1=ⁿv₁ ⑦?     
N=n+1=5時，v₅=（）⁴v₁    ⑧?    
由⑤⑥⑧三式得?        k=-1≈0.414(k=--1舍去)    ⑨?