Question

（9分）土星周圍有許多大小不等的巖石顆粒,其繞土星的運動可視為圓周運動.其中有兩個巖石顆粒A和B與土星中心的距離分別為r_A=8.0×10⁴ km和r_B=1.2×10⁵ km,忽略所有巖石顆粒間的相互作用.(結果可用根式表示),求:
(1)巖石顆粒A和B的線速度之比.
(2)巖石顆粒A和B的周期之比.
(3)土星探測器上有一物體,在地球上重為10 N,推算出它在距土星中心3.2×10⁵ km處受到土星的引力為0.38 N.已知地球半徑為6.4×10³ km,請估算土星質量是地球質量的多少倍?

Answer 1

（1）（2）（3） 95(倍)

  (1)設土星質量為M0,顆粒質量為m,顆粒距土星中心距離為r,線速度為v,根據牛頓第二定律和萬有引力定律得
            ①                        ------2分
解得 
得：                          ②       -------1分
(2)設顆粒繞土星做圓周運動的周期為T,則?
                       ③               -------2分
對于A、B兩顆粒分別有：
得:                  ④              -------1分
(3)設地球質量為M,地球半徑為r0,地球上物體的重力可視為萬有引力,探測器上物體質量為m0,在地球表面重力為G0,距土星中心r0′=3.2×105 km處的引力為G0′,根據萬有引力定律：
                       ⑤         
                     ⑥            -------2分
由⑤⑥得:=95(倍)                              -------1分