Question

（2011?湖北模擬）如圖所示，在紙面內有一邊長為L的等邊三角形DES （虛線），三角形內只有方向垂直紙面向外的勻強磁場，三角形外部的足夠大空間只有方向垂直紙面向里的勻強磁場，磁感應強度大小均為B虛線三角形DES為內外磁場的理想邊界．一電量為+q、質量為m的帶正電粒子從DE邊中點P以速度V₀垂直DE邊射入三角形外部磁場，不計粒子的重力和一切阻力，試求：
（1）要使粒子能垂直DE返回到P點，從P點射出時的速度v₀為多大？
（2）滿足（1）問的粒子第一次從P點射入外部磁場到再次返回到P點仍射入外部磁場的最短時間為多少？

Answer 1

分析：（1）從P點射出的粒子做圓周運動，由洛倫茲力提供向心力，根據牛頓第二定律可求出軌跡半徑R與速度的關系式．要使粒子能垂直DE返回到P點，應滿足：

L

2

=（2n+1）R，（n=0，1，2，3…），聯立解得，速度v₀應滿足的條件
（2）在磁場中粒子做圓周運動的周期T=

2πm

qB

，與粒子速度無關，粒子做圓周運動回旋圓弧個數越少，時間越短，當n=0時運動的時間最短，當R=

L

2

時時間最短．即可求出最短時間．

解答：解：（1）從P點射出的粒子做圓周運動，設粒子的運動半徑為R
即　qv₀B=m

v 2 0

R

粒子返回到P點應滿足：

L

2

=（2n+1）R，（n=0，1，2，3…）
解以上各式得粒子的速度為v0=

qBL

2(2n+1)m

（n=0，1，2，3…）
（2）在磁場中粒子做圓周運動的周期T=

2πm

qB

，與粒子速度無關，所以粒子做圓周運動回旋圓弧個數越少，時間越短，當n=0時運動的時間最短，
即當：R=

L

2

時時間最短．
由軌跡圖可知，粒子以三角形的三個頂點為圓心做6個圓弧運動，
其中三個

5π

3

和三個

π

3

的圓弧
故最短時間為：t=3T=

6πm

qB

答：
（1）要使粒子能垂直DE返回到P點，從P點射出時的速度v₀為

qBL

2(2n+1)m

（n=0，1，2，3…）．
（2）滿足（1）問的粒子第一次從P點射入外部磁場到再次返回到P點仍射入外部磁場的最短時間為

6πm

qB

．

點評：本題的難點在于幾何圖象的確定，要抓住三角形內外圓半徑關系，則可得出各自圓弧所對應的圓心角，從而確定粒子運動所經歷的時間．