Question

如圖所示，在光滑的水平面上停放著一輛平板車，在車上的左端放有一木塊B．車左邊緊鄰一個固定在豎直面內、半徑為R的圓弧形光滑軌道，已知軌道底端的切線水平，且高度與車表面相平．現有另一木塊A（木塊A、B均可視為質點）從圓弧軌道的頂端由靜止釋放，然后滑行到車上與B發生碰撞．兩木塊碰撞后立即粘在一起在平板車上滑行，并與固定在平板車上的水平輕質彈簧作用后被彈回，最后兩木塊剛好回到車的最左端與車保持相對靜止．已知木塊A的質量為m，木塊B的質量為2m，車的質量為3m，重力加速度為g，設木塊A、B碰撞的時間極短可以忽略．求：
（1）木塊A、B碰撞后的瞬間兩木塊共同運動速度的大小．
（2）木塊A、B在車上滑行的整個過程中，木塊和車組成的系統損失的機械能．
（3）彈簧在壓縮過程中所具有的最大彈性勢能．

Answer 1

【答案】分析：（1）從A到B的過程，機械能守恒，在AB碰撞的時候，動量守恒，根據運動的過程可以求得共同的速度；
（2）根據碰撞前和碰撞后的能量來計算損失的能量的大小；
（3）當彈簧被壓縮至最短時，彈簧的彈性勢能最大，根據動量守恒求得此時的速度，根據能量的守恒求得最大的彈性勢能．
解答：解：（1）設木塊A到達圓弧底端時得速度為v，對木塊A沿圓弧下滑得過程，根據機械能守恒定律，有：
mgR=mv²
在A、B碰撞得過程中，兩木塊組成得系統動量守恒，設碰撞后的共同速度大小為v₁，則：
mv=（m+2m）v₁，
解得：v₁=，
（2）A、B在車上滑行的過程中，A、B及車組成的系統動量守恒． A、B滑到車的最左端時與車具有共同的速度，設此時速度大小為v，根據動量守恒定律，有：
（m+2m）v₁=（m+2m+3m）v，
A、B在車上滑行的整個過程中系統損失的機械能為：
△E=（m+2m）v₁²-（m+2m+3m）v²=mgR，
（3）設當彈簧被壓縮至最短時，木塊與車有相同的速度v₂，彈簧具有最大的彈性勢能E，根據動量守恒定律有：
（m+2m）v₁=（m+2m+3m）v₂，
所以有：v₂=v．
設木塊與車面摩檫力為f，在車上滑行距離為L，由能量守恒，對于從 A、B一起運動到將彈簧壓縮至最短的過程有：
（m+2m）v₁²=（m+2m+3m）v₂²+fL+E，
對于從彈簧被壓縮至最短到木塊滑到車的左端的過程有：
（m+2m+3m）v₂²+E=（m+2m+3m）v²+fL，
解得：E=mgR．
答：（1）木塊A、B碰撞后的瞬間兩木塊共同運動速度的大小為；
（2）木塊A、B在車上滑行的整個過程中，木塊和車組成的系統損失的機械能為mgR；
（3）彈簧在壓縮過程中所具有的最大彈性勢能為mgR．
點評：整個運動的過程中，系統的動量守恒，在碰撞的時候，有能量的損失，對于不同的過程，根據動量守恒和能量守恒計算即可．