Question

如圖所示，M、N為兩塊帶等量異種電荷的平行金屬板，S₁、S₂為板上正對的小孔，N板右側有兩個寬度均為d的勻強磁場區域，磁感應強度大小均為B，方向分別垂直于紙面向里和向外，磁場區域右側有一個熒光屏，取屏上與S₁、S₂共線的O點為原點，向下為正方向建立x軸．板左側電子槍發射出的熱電子經小孔S₁進入兩板間，電子的質量為m，電荷量為e，初速度可以忽略．
求：（1）當兩板間電勢差為U₀時，求從小孔S₂射出的電子的速度v₀；
（2）兩金屬板間電勢差U在什么范圍內，電子不能穿過磁場區域而打到熒光屏上；
（3）電子打到熒光屏上的位置坐標x和金屬板間電勢差U的函數關系．

Answer 1

分析：帶電粒子在電場中被直線加速，由動能定理可求出粒子被加速后的速度大小，當進入勻強磁場中在洛倫茲力作用下做勻速圓周運動，要使粒子能打在熒光屏上離O點最遠，則粒子必須從磁場中垂直射出，由于粒子已是垂直射入磁場，所以由磁感應強度大小相等，方向相反且寬度相同得粒子在兩種磁場中運動軌跡是對稱的，在磁場中正好完成半個周期，則運動圓弧的半徑等于磁場寬度．若不能打到熒光屏，則半徑須小于磁場寬度，粒子就不可能通過左邊的磁場，也就不會打到熒光屏．所以運動圓弧的半徑大于或等于磁場寬度是粒子打到熒光屏的前提條件． 可設任一圓弧軌道半徑，由幾何關系可列出與磁場寬度的關系式，再由半徑公式與加速公式可得出打到熒光屏上的位置坐標x和金屬板間電勢差U的函數關系．

解答：解：（1）根據動能定理，得：eU0=

1

2

m

v

2 0

解得：v0=

2eU0 m

（2）欲使電子不能穿過磁場區域而打在熒光屏上，應有r＜d
而：eU=

1

2

mv2，eBV=m

v2

r

由此即可解得：U＜

d2eB2

2m

（3）若電子在磁場區域做圓周運動的軌道半徑為r，穿過磁場區域打在熒光屏上的位置坐標為x，
則由軌跡圖可得：x=2r-2

r2-d2

，
注意到：r=

mv

eB

和：eU=

1

2

mv2
所以，電子打到熒光屏上的位置坐標x和金屬板間電勢差U的函數關系為：x=

2

eB

(

2emU

-

2emU-d2e2B2

)(U≥

d2eB2

2m

)
答：（1）當兩板間電勢差為U₀時，求從小孔S₂射出的電子的速度v₀為

2eU0 m

；
（2）兩金屬板間電勢差U在U＜

d2eB2

2m

范圍內，電子不能穿過磁場區域而打到熒光屏上；
（3）電子打到熒光屏上的位置坐標x和金屬板間電勢差U的函數關系為x=

2

eB

(

2emU

-

2emU-d2e2B2

)(U≥

d2eB2

2m

)．

點評：題中隱含條件是：粒子能打到熒光屏離O點最遠的即為圓弧軌道半徑與磁場寬度相等時的粒子．