Question

【題目】如圖所示，圓筒的內壁光滑，底端固定在豎直轉軸OO'，圓筒可隨軸轉動，它與水平面的夾角始終為45°．在圓筒內有兩個用輕質彈簧連接的相同小球A、B（小球的直徑略小于圓筒內徑），A、B質量均為m，彈簧的勁度系數為k．當圓筒靜止時A、B之間的距離為L（L遠大于小球直徑）．現讓圓筒開始轉動，其角速度從零開始緩慢增大，當角速度增大到ω0時保持勻速轉動，此時小球B對圓筒底部的壓力恰好為零．重力加速度大小為g．

（1）求圓筒的角速度從零增大至ω0的過程中，彈簧彈性勢能的變化量；
（2）用m、g、L、k表示小球A勻速轉動的動能Ek ．

Answer 1

【答案】
（1）解：系統靜止時，設彈簧的壓縮量為x1，以A位研究對象，根據平衡條件和胡克定律有：kx1=mgsin45°

B對圓筒底部的壓力恰好為零時，設彈簧的壓縮量為x2，以B為研究對象，根據平衡條件和胡克定律有：kx2=mgsin45°

可得 x1=x2，故彈簧彈性勢能的改變量為：△Ep=0

答：圓筒的角速度從零增大至ω0的過程中，彈簧彈性勢能的變化量為0

（2）解：設A做勻速圓周運動的半徑為R，則：R=（L+x1+x2）cos45°

A在水平面內做勻速圓周運動，根據牛頓第二定律

水平方向有：

豎直方向有：Ncos45°=kx2sin45°+mg

聯立解得：

答：小球A勻速轉動的動能Ek為 +

【解析】（1）系統靜止時，以A位研究對象，根據平衡條件和胡克定律結合求出設彈簧的壓縮量．當角速度增大到ω0時保持勻速轉動，B對圓筒底部的壓力恰好為零時，以B研究對象，求出彈簧的壓縮量，從而分析彈簧彈性勢能的改變量．（2）A在水平面內做勻速圓周運動，由合力充當向心力，分析其受力情況，根據牛頓第二定律求出A轉動的線速度，再得到動能．
【考點精析】掌握彈性勢能和功能關系是解答本題的根本，需要知道彈性勢能是物體由于發生彈性形變而具有的能量；當只有重力（或彈簧彈力）做功時，物體的機械能守恒；重力對物體做的功等于物體重力勢能的減少:W G =E p1 -E p2；合外力對物體所做的功等于物體動能的變化:W 合 =E k2 -E k1 （動能定理）；除了重力（或彈簧彈力）之外的力對物體所做的功等于物體機械能的變化:W F =E 2 -E 1．