Question

（18分）如下圖1所示，A、B為水平放置的平行金屬板，板間距離為d（d遠小于板的長和寬）．在兩板的中心各有小孔O和O’，O和O’ 處在同一豎直線上．在兩板之間有一帶負電的質點P．已知A、B間所加電壓為U₀時，質點P所受的電場力恰好與重力平衡。

現在A、B 間加上如下圖2所示隨時間t作周期性變化的電壓U，已知周期（g為重力加速度）．在第一個周期內的某一時刻t₀，在A、B 間的中點處由靜止釋放質點P，一段時間后質點P從金屬板的小孔飛出．問：

（1）t₀在什么范圍內，可使質點在飛出小孔之前運動的時間最短？

（2）t₀在哪一時刻，可使質點P從小孔飛出時的速度達到最大？

Answer 1

解析：

設質點P的質量為m，電量為q，當A、B間的電壓為U₀時，

有  q= mg  ①（1分）

當兩板間的電壓為2U₀時，P的加速度向上，其大小為a₁，

則 q- mg = ma₁         ②（1分）

解得     a₁ = g              ③（1分）

當兩板間的電壓為-2U₀時，P的加速度向下，其大小為a₂，

則 q+ mg = ma₂           ④（1分）

解得  a₂ =3g              ⑤（1分）

（1）要使質點在飛出小孔之前運動的時間最短，須使質點釋放后一直向下加速運動．設質點釋放后經過時間t到達小孔O’，則           ⑥（1分）

解得                        ⑦（1分）

因為，所以，質點到達小孔之前能一直加速．（1分）

因此要使質點在飛出小孔之前運動的時間達到最短，質點釋放的時刻t₀應滿足

即                 ⑧（1分）

（2）要使質點P從小孔飛出時的速度達到最大，須使質點釋放后先向上加速、再向上減速運動，在到達小孔O時速度減為0，然后向下加速運動直到小孔O’．

設質點釋放后向上加速時間為t₁、向上減速時間為t₂，則      （1分）

          （1分）

          ⑨（1分）

由以上各式解得  ，                 ⑩（1分）

因為，，因此質點P能向上先加速后減速恰好到達小孔O．（1分）

設質點從小孔O向下加速運動到小孔O’經過的時間為t₃，則   ⑾（1分）

解得             ⑿（1分）

因為，因此質點P能從小孔O向下一直加速運動到小孔O’，此時質點P從小孔O’飛出時的速度達到最大．（1分）

因此，要使質點P從小孔飛出時的速度達到最大，質點P釋放的時刻應為

        ⒀（1分）