Question

我國將于2008年發射圍繞地球做圓周運動的“神州7號”載人飛船，宇航員將進行太空行走．
（1）若已知地球半徑為R，地球表面重力加速度為g．“神州7號”載人飛船上的宇航員離開飛船后身上的速度計顯示其對地心的速度為v，宇航員及其設備的總質量為M，求該宇航員距離地球表面的高度
（2）該高度處的重力加速度為多少？
（3）已知宇航員及其設備的總質量為M，宇航員通過向后噴出氧氣而獲得反沖力，每秒鐘噴出的氧氣質量為m．為了簡化問題，設噴射時對氣體做功的功率恒為P，在不長的時間t內宇航員及其設備的質量變化很小，可以忽略不計．求噴氣t秒后宇航員獲得的動能．

Answer 1

（1）設地球質量為M₀，在地球表面，對于質量為m的物體有mg=G

M0m

R2

…①
離開飛船后的宇航員繞地球做勻速圓周運動，有G

M0M

r2

=M

v2

r

…②
聯立解得，r=

R2g

v2

…③
該宇航員距離地球表面的高度h=r-R=

R2g

v2

-R．…④
（2）在距地心r高處，對于質量為m物體有mg′=G

M0m

r2

…⑤
聯立①③⑤式得g′=

v4

R2g

（3）因為噴射時對氣體做功的功率恒為P，而單位時間內噴氣質量為m，故在t時
間內，據動能定理Pt=

1

2

mtv2可求得噴出氣體的速度為：v=

2P m

⑥
另一方面探測器噴氣過程中系統動量守恒，則：0=mtv-Mu…⑦
又宇航員獲得的動能，Ek=

1

2

Mu2…⑧
聯立解得：Ek=

1

2

M(

mt

M

?

2P m

)2=

mPt2

M

答：（1）該宇航員距離地球表面的高度為

R2g

v2

-R
（2）該高度處的重力加速度為

v4

R2g

（3）噴氣t秒后宇航員獲得的動能為

mPt2

M

．