Question

【題目】如圖所示，絕緣軌道MNPQ位于同一豎直面內，其中MN段是長度為L的水平軌道，PQ段為足夠長的光滑豎直軌道，NP段為光滑的四分之一圓弧，圓心為O，直線NN′右側有方向水平向左的電場（圖中未畫出），電場強度E=，在包含圓弧軌道NP的ONO′P區域內有方向垂直紙面向外、磁感應強度為B的勻強磁場（邊界處無磁場）．軌道MN最左端M點處靜止一質量為m、電荷量為q的帶負電的物塊A，一質量為3m為物塊C從左側的光滑軌道上以速度v0撞向物塊A．A、C之間只發生一次彈性碰撞，且最終剛好挨在一起停在軌道MN上，A、C均可視為質點，且與軌道MN的動摩擦因數相同，重力加速度為g．A在運動過程中所帶電荷量保持不變且始終沒有脫離軌道．A第一次到達N點時，對軌道的壓力為2mg．求：

（1）碰撞后A、C的速度大小；

（2）A、C與水平軌道MN的動摩擦因數μ；

（3）A對軌道NP的最大壓力的大小．

Answer 1

【答案】（1）；（2）（3）

【解析】

（1）A、C發生彈性碰撞，滿足動量守恒和動能守恒，列式聯立求解碰后A、C的速度；

（2）A在NN′右側運動過程中，電場力和重力做功之和為0。根據動能定理列式求解A、C與水平軌道MN的動摩擦因數；

（3）將重力和電場力進行等效合成，找到A對軌道NP有最大壓力的位置，根據動能定理求解此位置的速度，根據牛頓第二定律求解最大壓力.

（1）A、C發生彈性碰撞后的速度分別為vA、vC，則有：

3mv0=mvA+3mvC①

=+②

聯立①②解得：③

④

（2）設A、C最后靜止時與M點的距離為l1，A在NN′右側運動過程中，電場力和重力做功之和為0。有

μmg（2L－l１）=⑤

μ3mgl１=⑥

聯立解得③④⑤⑥μ⑦

（3）設A在Ｎ點的速度為，A從M到N的過程中，由動能定理得

⑧　　　

設圓弧NP的半徑為a

因為A在Ｎ點時對軌道的壓力為2mg，⑨　

A在NN′右側受到的電場力F=qE=mg⑩

重力和電場力的合力大小為F合=2mg，方向與OP夾角為。過O點沿合力方向作直線與圓弧相交于Ｋ點，當A經P點返回N點的過程中到達K點時，達到最大速度，此時A對軌道的壓力最大。

A從M點到K點過程中，由動能定理可得：

返回K點時：FN－F合－

由③⑦⑧⑨⑩得：FN

由牛頓第三定律得A對軌道NP的最大壓力為：