Question

（2013?浙江模擬）近年來，越來越高的摩天大廈在世界各地落成．日本東京的千年塔設計170層、840米高，而由西班牙著名建筑設計大師哈韋爾皮奧斯設計的上海“超群大廈”甚至將高達1249.9米．然而，至今普遍使用的鋼索吊掛式電梯已經不再適臺這樣的高度，因為需要的鋼索太長、太重會因承受不了自身的重量而斷裂．為此德國亞琛工業大學的科研人員設計出了一種磁動力電梯，其原理是利用移動的磁場來帶動電梯向上或向下運動．工作原理可簡化如下：如圖所示，PQ和MN是兩根平行豎直軌道，軌道間有垂直軌道平面的等大反向勻強磁場B₁和B₂，B₁=B₂=1T，兩磁場可向上作勻速運動．電梯轎廂固定在金屬框abcd內（轎廂未畫出）．現己知電梯載人時的總質量為m=1.0×10⁴kg，運動時所受阻力f=1000N，金屬框垂直軌道的邊長L_cd=2m，兩磁場的寬度均與金屬框的邊長L_ac相同，金屬框的總電阻為R=1.0×10^-3Ω，某時段磁場以v₀=10m/s的速度向上勻速運動，g=10m/s²求：
（1）電梯速度為零時，它的加速度為多大？
（2）電梯最后向上勻速運動的速度為多大？
（3）電梯向上勻速運動時，外界提供的能量轉變為電梯機械能的效率？

Answer 1

分析：（1）電梯速度為零時，相對于磁場的速度為v₀，線框的上下兩邊都切割磁感線，求出安培力的大小，通過牛頓第二定律求出電梯的加速度．
（2）金屬框勻速上升時，ab、cd兩均切割磁感線產生感應電動勢，兩邊均受到安培力，根據平衡條件和右手定則可確定感應電流的大小和方向．由歐姆定律和感應電動勢公式求出磁場向上運動速度v₀的大小．
（3）根據功率公式求出重力、阻力和電熱功率，進而求出效率．

解答：解：（1）切割產生的感應電動勢E=2BLv₀    ①
根據歐姆定律得，I=

E

R

              ②
則F_A=2BIL ③
根據牛頓第二定律得，a=

FA-mg-f

m

        ④
代入數據解得a=5.9m/s²
（2）令最后電梯運動速度為v，則有
E′=2BL（v₀-v）  ⑤
根據歐姆定律得，I′=

E′

R

      ⑥
F_A′=2BI′L=mg+f    ⑦
代入數據解得v=3.7m/s  
（3）外界提供的能量轉變為電梯機械能的效率η=

mgv

mgv+fv+I′2R

×100%=37%．
答：（1）電梯速度為零時，它的加速度為5.9m/s²．
（2）電梯最后向上勻速運動的速度為3.7m/s．
（3）電梯向上勻速運動時，外界提供的能量轉變為電梯機械能的效率為37%．

點評：本題是理論聯系實際的問題，與磁懸浮列車模型類似，關鍵要注意磁場運動，線框相對于磁場向下運動，而且上下兩邊都切割磁感線，產生兩個電動勢，兩個邊都受安培力．