Question

（19分）如圖所示，ABCD為固定在豎直平面內的軌道，AB段光滑水平，BC段為光滑圓弧，對應的圓心角θ=37°，半徑r=2.5m，CD段平直傾斜且粗糙，各段軌道均平滑連接，傾斜軌道所在區域有場強大小為E=2×10⁵N/C、方向垂直于斜軌向下的勻強電場。質量m=5×10^-2kg、電荷量q=+1×10^-6C的小物體（視為質點）被彈簧槍發射后，沿水平軌道向左滑行，在C點以速度v₀=3m/s沖上斜軌。以小物體通過C點時為計時起點，0.1s以后，場強大小不變，方向反向。已知斜軌與小物體間的動摩擦因數μ=0.25。設小物體的電荷量保持不變，取g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8。

（1）求彈簧槍對小物體所做的功;
（2）在斜軌上小物體能到達的最高點為P，求CP的長度。

Answer 1

（1）0.475J（2）0.57m

試題分析：（1）設彈簧槍對小物體做的功為W，由動能定理得
W-mgr（1-cosθ）=mv₀²　  ①
代入數據得W=0.475J     ②
（2）取沿平直斜軌向上為正方向。設小物體通過C點進入電場后的加速度為a₁，由牛頓第二定律得
-mgsinθ-μ（mgcosθ+qE）=ma₁　    ③
小物體向上做勻減速運動，經t₁=0.1s后，速度達到v₁，有
v₁=v₀+a₁t₁　  ④
由③④可知v₁=2.1m/s，設運動的位移為x₁，有
x₁=v₀t₁+a₁t₁²　 ⑤
電場力反向后，設小物體的加速度為a₂，由牛頓第二定律得
-mgsinθ-μ（mgcosθ-qE）=ma₂　  ⑥
設小物體以此加速度運動到速度為0，運動的時間為t₂，位移為x₂，有
0=v₁+a₂t₂　⑦
x₂=v₁t₂+a₂t₂²　⑧
設CP的長度為x，有x=x₁+x₂　 ⑨
聯立相關方程，代入數據解得x=0.57m  ⑩