Question

如圖19所示，傾角θ=37°、電阻不計、間距L=0.3 m、長度足夠的平行導軌處，加有磁感應強度B=1 T、方向垂直于導軌平面（圖中未畫出）的勻強磁場，導軌兩端各接一個阻值R₀=2 Ω電阻.另一橫跨在平行導軌間的金屬棒質量m=1 kg，電阻r=2 Ω，其與導軌間的動摩擦因數μ=0.5，金屬棒以平行于導軌向上的初速度v₀=10 m/s上滑，直至上升到最高點的過程中，通過上端電阻的電荷量Δq=0.1 C(g取10 m/s²，sin37°=0.6)，求：

圖19

（1）金屬棒的最大加速度

（2）上端電阻R₀上產生的熱量.

Answer 1

解析：根據題意分析可知導體棒在磁場中做切割磁感線運動要產生感應電動勢，所以閉合回路中有感應電流；由于導體棒有感應電流，磁場反過來對通電導體棒又有安培力的作用.根據楞次定律得安培力的方向必與導體棒的運動方向相反即沿斜面向下.在這里磁場力總要阻礙導體棒的運動，所以速度將越來越小.速度減小，導體棒切割磁感線產生的感應電動勢也將減小，導體棒的電流也減小，磁場對導體棒的安培力減小，又安培力沿斜面向下，故導體棒所受的合外力減小.由以上分析可知，導體棒剛開始運動的時候導體棒的加速度最大.

（1）導體棒運動產生感應電動勢，整個回路等效于如右圖所示的電路.

    剛開始運動時產生的感應電動勢：

E=Bv₀L=1×10×0.3 V=0.3 V

    整個回路的總電阻：

R_總=12R₀+r=3 Ω

    導體棒的電流為：

I==A=1 A

    導體棒所受的安培力：

F_安=BIL=1×1×0.3 N=0.3 N

導體棒所受的合外力：

F_合=F_安+mgsinθ+μmgcosθ=ma_m

    代入得：a_m= m/s²

=10.3 m/s².

（2）由于速度越來越小，所以安培力是一個變力.變力做功無法用W=Fs來求解，一般我們采用動能定理來求解.首先從題目的已知條件通過上端電阻的電荷量Δq=0.1 C可以求得導體棒向上移動的位移，從而再根據功能關系求得整個回路產生的總熱量Q_總.根據電荷量求得整個過程中的磁通量的變化，由q=Δt=Δt=B²l²v_tR+rΔt=Δt=

    由此可得：

ΔΦ=R_總q=R_總2Δq=0.6 Wb

    設導體棒向上移動的最大距離為s，則：s== m=2 m

    由于導體棒克服安培力所做的功全部轉化為熱能，由動能定理得：

-μmgcos37°s-mgsin37°s-Q_總=0-mv₀²

    代入得：Q_總=31 J

    三個電阻（兩個R₀和導體棒的電阻r）上的總熱量為30 J，純電阻電路產生的熱量Q=I²Rt，所以每個電阻上產生的熱量的分配與電路中電流的分配是一樣的.

    即=·Q_總=Q_總=5 J.

答案：（1）10.3 m/s²  （2）5 J