Question

【題目】雙星系統的兩個星球A、B相距為L，質量都是m，它們正圍繞兩者連線上某一點做勻速圓周運動。

（1）求星球A、B組成的雙星系統周期理論值；

（2）實際觀測該系統的周期T要小于按照力學理論計算出的周期理論值，且（k＜1），于是有人猜測這可能是受到了一顆未發現的星球C的影響，并認為C位于雙星A．B的連線正中間，星球A、B圍繞C做勻速圓周運動，試求星球C的質量（結果用k和m表達）。

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】試題分析：雙星繞兩者連線的中點做圓周運動，由相互之間萬有引力提供向心力，根據牛頓第二定律求解運動周期；假定在以這兩個星體連線為直徑的球體內均勻分布著暗物質，由暗物質對雙星的作用與雙星之間的萬有引力的合力提供雙星的向心力，由此可以得到雙星運行的角速度，進而得到周期T2，聯合第一問的結果可得周期之比，進而求出質量。

（1）兩個星球A、B組成的雙星系統周期相同，設兩個軌道半徑分別為，兩星之間萬有引力是兩星做勻速圓周運動的向心力

對星球A：；對星球B：

且，得雙星系統周期理論值

（2）由于星體C的存在，星球A、B的向心力由兩個力的合力提供，則

對星球A或B均有：

又由，可得星球C的質量