Question

（08年全國卷Ⅱ）（20分）我國發射的“嫦娥一號”探月衛星沿近似于圓形軌道繞月飛行。為了獲得月球表面全貌的信息，讓衛星軌道平面緩慢變化。衛星將獲得的信息持續用微波信號發回地球。設地球和月球的質量分別為M和m，地球和月球的半徑分別為R和R₁，月球繞地球的軌道半徑和衛星繞月球的軌道半徑分別為r和r₁，月球繞地球轉動的周期為T。假定在衛星繞月運行的一個周期內衛星軌道平面與地月連心線共面，求在該周期內衛星發射的微波信號因月球遮擋而不能到達地球的時間（用M、m、R、R₁、r、r₁和T表示，忽略月球繞地球轉動對遮擋時間的影響）。

Answer 1

解析：如下圖所示：

設O和分別表示地球和月球的中心。在衛星軌道平面上，A是地月連心線與地月球表面的公切線ACD的交點，D、C和B分別是該公切線與地球表面、月球表面和衛星軌道的交點。過A點在另一側作地月球面的公切線，交衛星軌道于E點。衛星在圓弧上運動時發出的信號被遮擋。

設探月衛星的質量為m₀，萬有引力常量為G，根據萬有引力定律有

                                   ①

 

                                  ②

 

②式中，T₁是探月衛星繞月球轉動的周期。由①②式得

                                       ③

 

設衛星的微波信號被遮擋的時間為t，則由于衛星繞月球做勻速圓周運動，應有

                                                 ④

 

式中，α=∠CO′A，β=∠CO′B。由幾何關系得

 

                                           ⑤

                                                ⑥

 

由③④⑤⑥式得

 

             ⑦