Question

如圖a所示的平面坐標系xOy，在整個區域內充滿了勻強磁場，磁場方向垂直坐標平面，磁感應強度B隨時間變化的關系如圖b所示，開始時刻，磁場方向垂直紙面向里(如圖)。t=0時刻，有一帶正電的粒子(不計重力)從坐標原點O沿x軸正向進入磁場，初速度為v₀=2´10³m/s。已知正粒子的比荷為1.0´10⁴C/kg，其它有關數據見圖中標示（磁感應強度B取垂直紙面向里為正）。試求：

(1)t=´10^-4s時刻，粒子的坐標。

(2)粒子從開始時刻起經多長時間第一次到達y軸。

(3)粒子是否還可以返回坐標原點O？如果可以，則經多長時間第一次返回坐標原點O？

Answer 1

 (1)粒子進入磁場后在磁場中作圓周運動，設半徑為R，周期為T，由洛侖茲力提供向心力，有qvB= 得：R===0.4m……2分   又T====4p´10^-4s……2分

在磁場變化的第一段時間內，粒子運動的周期數為: N==(個運動周期)運動軌跡對應的圓心角為120°，作出粒子在磁場中運動的軌跡如圖所示。第一段時間末，粒子的坐標為：

x=Rcos30°=0.2m,   y=R+sin30°=0.6m

所求時刻，粒子的坐標(0.2m，0.6m) ……2分

(2)根據第(1)問可知，粒子在第一個磁場變化的時間段內時，運動了N₁=個周期，在第二個時間段內運動的周期數為N₂==(個周期) ……2分

所對應的運動軌跡圓心角為60°.運動軌跡如圖所示。

第三個時間段內同樣運動了：N₃==(個周期)，……2分

對應的圓心角為120°粒子運動軌跡如圖，粒子恰好在第三段時間末通過y軸故運動時間為t=´10^-4s  ……3分

(3)粒子在磁場中作周期性運動，根據對稱性和周期性，畫出粒子的部分運動軌跡如圖，其中O₂、O₆、O₁₀構成一個正三邊形。

故粒子在磁場中一共運動了6個大圓弧和6個小圓弧，故從原點出發到回到原點的總時間為t'=6´´10^-4s+6´´10^-4s=12p´10^-4s  ……6分