Question

如圖，豎直平面內有一半徑足夠大光滑圓弧形軌道，O為最低點，A、B兩點距O點的高度分別為h和4h，現在從A點釋放一質量為M的大物體，且每隔適當的時間從B點釋放一質量為m的小物體，它們和大物體碰撞后都結為一體，已知M=100m。
（1）若每當大物體向右運動到O點時，都有一個小物體與之碰撞，問碰撞多少次后大物體速度最小？
  （2）若每當大物體運動到O點時，都有一個小物體與之碰撞，若碰撞50次后大物體運動的最大高度為h的幾分之幾？

Answer 1

(1) n=50次(2)

（1）設分別由A、B釋放的物理沿圓弧軌道運動到O點時速度大小分別為V_A、V_B。
由機械能守恒定律得：

20081208

設n次碰撞后大物體速度最小，出動量守恒定律得：
Mv_A-nmv_B=（M+nm）v_min
當Mv_A-nmv_B=0時，大物體速度最小
解得n=50次
（2）第1次碰撞：Mv_A-nmv_B=（M+m）v₁
第2次碰撞：（M+m）v₁+ mv_B=（M+2m）v₂
第3次碰撞：（M+2m）v₂+ mv_B=（M+3m）v₃
第4次碰撞：（M+3m）v₃+ mv_B=（M+4m）v₄
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第50次碰撞：（M+49m）v₄₉+ mv_B=（M+50m）v₅₀
兩邊相加得：Mv_A=（M+50m）v₅₀
解得：v₅₀=
由機械能守恒定律得：
（M+50m）gh′= 
解得：