Question

（2006?廣東）如圖所示，在磁感應強度大小為B、方向垂直向上的勻強磁場中，有一上、下兩層均與水平面平行的“U”型光滑金屬導軌，在導軌面上各放一根完全相同的質量為m的勻質金屬桿A₁和A₂，開始時兩根金屬桿位于同一豎起面內且桿與軌道垂直．設兩導軌面相距為H，導軌寬為L，導軌足夠長且電阻不計，金屬桿單位長度的電阻為r．現有一質量為

m

2

的不帶電小球以水平向右的速度v₀撞擊桿A₁的中點，撞擊后小球反彈落到下層面上的C點．C點與桿A₂初始位置相距為S．求：
（1）回路內感應電流的最大值；
（2）整個運動過程中感應電流最多產生了多少熱量；
（3）當桿A₂與桿A₁的速度比為1：3時，A₂受到的安培力大小．

Answer 1

分析：金屬桿A₁、A₂兩桿在同一個金屬U形導軌上都做變速運動，運動方向相同（都向右），同一時刻兩桿都切割磁感線產生感應電動勢，兩個感應電動勢在空間中的方向相同（都向外），但兩個感應電動勢在回路中的方向相反，所以總電動勢是這兩個電動勢之差，即E=BL（v₁-v₂），電流是I=

BL(v1-v2)

R

，方向為金屬桿A₁中感應電流的方向，因為A₁比A₂產生的感應電動勢大，安培力是F=

B2L2(v1-v2)

R

，方向都和速度方向相反（都向左）．
根據平拋運動規律、動量守恒定律、能量守恒定律解決問題．

解答：解：設撞擊后小球反彈的速度為v₁，金屬桿A1的速度為v₀₁，根據動量守恒定律，

1

2

mv₀=

1

2

m（-v₁）+mv₀₁，①
 根據平拋運動的分解，有
 　s=v₁t，H=

1

2

gt²
 　由以上2式解得v₁=s

g 2H

       ②
 　②代入①得v₀₁=

1

2

（v₀+s

g 2H

）      ③
 　回路內感應電動勢的最大值為E_m=BLv₀₁，電阻為R=2Lr，
所以回路內感應電流的最大值為I_m=

B(v0+s g 2H )

4r

．        ④
 （2）因為在安培力的作用下，金屬桿A₁做減速運動，金屬桿A₂做加速運動，當兩桿速度大小相等時，回路內感應電流為0，根據能量守恒定律，

1

2

mv₀₁²=Q+

1

2

?2mv²    ⑤
其中v是兩桿速度大小相等時的速度，根據動量守恒定律，
mv₀₁=2mv，所以v=

1

2

v₀₁，代入⑤式得
Q=

1

16

m（v₀+s

g 2H

）²    ⑥
（3）設金屬桿A₁、A₂速度大小分別為v₁、v₂，根據動量守恒定律，
mv₀₁=mv1+mv₂，又

v1

v2

=

3

1

，所以
v₁=

3

4

v₀₁，v₂=

1

4

v₀₁．
金屬桿A₁、A₂速度方向都向右，根據右手定則判斷A₁、A₂產生的感應電動勢在回路中方向相反，
所以感應電動勢為E=BL（v₁-v₂），電流為I=

E

2Lr

，安培力為F=BIL，
所以A₂受到的安培力大小為F=

B2L

8r

（v₀+s

g 2H

）．
當然A₁受到的安培力大小也如此，只不過方向相反．
 答案：（1）回路內感應電流的最大值為

B(v0+s g 2H )

4r

；
（2）整個運動過程中感應電流最多產生熱量為

1

16

m（v₀+s

g 2H

）²；
（3）當桿A₂與桿A₁的速度比為1：3時，A₂受到的安培力大小為

B2L

8r

（v0+s

g 2H

）．

點評：注重金屬桿A₁、A₂兩桿的運動過程分析，清楚同一時刻兩桿都切割磁感線產生感應電動勢時，根據兩個感應電動勢在回路中的方向會求出電路中總的感應電動勢．