Question

如圖(a)，小球甲固定于水平氣墊導軌的左端，質量m＝0.4 kg的小球乙可在導軌上無摩擦地滑動，甲、乙兩球之間因受到相互作用而具有一定的勢能，相互作用力沿二者連線且隨間距的變化而變化．現已測出勢能隨位置x的變化規律如圖(b)中的實線所示．已知曲線最低點的橫坐標x₀＝20 cm，虛線①為勢能變化曲線的漸近線，虛線②為經過曲線上某點的切線．

(1)將小球乙從x₁＝8 cm處由靜止釋放，小球乙所能達到的最大速度為多大？

(2)假定導軌右側足夠長，將小球乙在導軌上從何處由靜止釋放，小球乙不可能第二次經過x₀＝20 cm的位置？并寫出必要的推斷說明；

(3)若將導軌右端抬高，使其與水平面的夾角α＝30°，如圖(c)所示．將球乙從x₂＝6 cm處由靜止釋放，小球乙運動到何處時速度最大？并求其最大速度；

(4)在圖(b)上畫出第(3)問中小球乙的動能E_k與位置x的關系圖線．

Answer 1

答案：
解析：

(1)球乙運動到x0＝20 cm位置時勢能最少，速度最大， 　　能量守恒：，(1分) 　　解出 m/s＝1 m/s(1分) 　　(2)在0＜x＜6 cm區間內將小球乙由靜止釋放，不可能第二次經過x0．(1分) 　　原因：在0＜x＜20 cm區間內兩球之間作用力為排斥力，在20 cm ＜x＜∞區間內兩球之間作用力為吸引力，無窮遠處和6 cm處的勢能均為0.28 J．若小球乙的靜止釋放點在6 cm ＜x＜∞區間，小球乙將做往復運動，多次經過x0＝20 cm的位置．而靜止釋放點在0＜x＜6 cm區間內時，初態勢能大于0.28 J，小球乙將會運動到無窮遠處而無法返回，只能經過x0位置一次．(2分) 　　(3)x3＝12 cm處的切線斜率J/m＝2 J/m ， 　　表明此處乙球受到甲球2 N的排斥力，(1分) 　　乙球此處受到重力的分力mgsinα＝…＝2 N 　　所以，乙球在x3＝12 cm處時，所受合外力等于零，速度最大，(1分) 　　從圖中讀出x3＝12 cm處的勢能Ep3＝0.1 J，x2＝6 cm處的勢能Ep2＝0.28 J，(1分) 　　能量守恒：，(1分) 　　解出＝＝……＝m/s ＝0.55 m/s(1分) 　　(4)作圖要求： 　　三個關鍵點的位置正確： 　　x2＝6 cm處的動能Ek＝0；(1分) 　　x3＝12 cm處的動能Ek＝0.06 J；(1分) 　　x4＝20 cm處的動能Ek＝0(1分) 　　曲線要求平滑，斜率變化正確．(1分)