Question

【題目】為了方便研究物體與地球間的萬有引力問題，通常將地球視為質量分布均勻的球體。已知地球的質量為M，半徑為R，引力常量為G，不考慮空氣阻力的影響。

（1）求北極點的重力加速度的大小；

（2）若“天宮二號”繞地球運動的軌道可視為圓周，其軌道距地面的高度為h，求“天宮二號”繞地球運行的周期和速率；

（3）若已知地球質量M=6.0×1024kg，地球半徑R=6400km，其自轉周期T=24h，引力常量G=6.67×10-11N·m2/kg2。在赤道處地面有一質量為m的物體A，用W0表示物體A在赤道處地面上所受的重力，F0表示其在赤道處地面上所受的萬有引力。請求出的值（結果保留1位有效數字），并以此為依據說明在處理萬有引力和重力的關系時，為什么經常可以忽略地球自轉的影響。

Answer 1

【答案】（1）g0=GM/R2（2）v=2π(R+h)/T1=（3）3×10-3

【解析】（1）設質量為m0的物體靜止在北極點時所受地面的支持力為N0，根據萬有引力定律和共點力平衡條件則有：

即質量為m0的物體在北極點時所受的重力為：
設北極點的重力加速度為g0，則有：
解得：
（2）設“天宮二號”的質量為m1，其繞地球做勻速圓周運動的周期為T1，根據萬有引力定律和牛頓第二定律有：

解得：
運行速率為：
（3）物體A在赤道處地面上所受的萬有引力
對于物體A在赤道處地面上隨地球運動的過程，設其所受地面的支持力為N，根據牛頓第二定律有：

物體A此時所受重力的大小為：

所以
代入數據解得：

這一計算結果說明，由于地球自轉對地球表赤道面上靜止的物體所受重力與所受地球引力大小差別的影響很小，所以通常情況下可以忽略地球自轉造成的地球引力與重力大小的區別．