Question

如圖所示，線的上端固定，下端系一小球，將小球與線拉在同一水平位置后從靜止開始釋放，求:

小球的擺線運動到與水平方向成多大角度時，小球所受的重力的功率最大。（用反三角函數表示）

Answer 1

試題分析： 設擺線長為l，小球的擺線運動到與水平方向成θ角度時，小球所受的重力的功率最大，此時小球的速度為，由幾何關系知，重力mg與速度v的夾角等于θ，根據功率定義得：
由動能定理得：
以上兩式聯立解得：
令，，因θ是銳角，所以，對求導得：
令得：或
由導數圖像得處取最大值。
所以當時，球所受的重力的功率最大
另解：設擺線長為l，小球的擺線運動到與水平方向成θ角度時，小球所受的重力的功率最大，此時小球的速度為，豎直分速度為，根據功率定義得：
由動能定理得：
根據牛頓第二定律得：
沿水平方向和豎直方向進行正交分解，當時，豎直方向速度有最大值，小球所受的重力的功率有最大值。
以上各式聯立解得：　　　
故小球的擺線運動到與水平方向成角度時，小球所受的重力的功率最大。