Question

【題目】平行金屬板MN和OP水平正對(duì)放置，板長(zhǎng)為2l，板問(wèn)距為l.虛線NP右側(cè)足夠大的空間有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。現(xiàn)以O為坐標(biāo)原點(diǎn)，沿OM方向建立坐標(biāo)軸oy。質(zhì)量為m、電為+q的帶電粒子（不計(jì)重力）可以分別從oy軸上O、M間任意點(diǎn)（包含O、M兩點(diǎn)）以相同的水平速度v0射入板間，每個(gè)粒子單獨(dú)射入，每個(gè)粒子在板間運(yùn)動(dòng)過(guò)程中板間電壓保持恒定.且認(rèn)為電場(chǎng)只分布在兩板之間的區(qū)域；射人點(diǎn)不同的粒子偏轉(zhuǎn)電壓不同，以確保從y軸上O、M間任意位置水平射入的粒子，均恰好到達(dá)P點(diǎn)并離開(kāi)電場(chǎng)進(jìn)入磁場(chǎng)，求：

(1)粒子射人點(diǎn)坐標(biāo)y與對(duì)應(yīng)偏轉(zhuǎn)電壓U的關(guān)系式；

(2)若要使從OM間任意位置射人電場(chǎng)的粒子經(jīng)磁場(chǎng)后均能不與平行金屬板碰撞而直接到達(dá)y軸，求磁感應(yīng)強(qiáng)度的最大值；

(3)在滿(mǎn)足（2)的磁感應(yīng)強(qiáng)度的最大值條件下求這些粒子從y軸上出發(fā)到再次到達(dá)y軸的最短時(shí)間.

Answer 1

【答案】(1) (2) (3)

【解析】(1)設(shè)粒子射入點(diǎn)坐標(biāo)為y時(shí)對(duì)應(yīng)的電壓為U，場(chǎng)強(qiáng)為E，在電場(chǎng)中的時(shí)間為t，加速度為a，則在電場(chǎng)中有：

................................ ①

................................ ②

................................ ③

................................ ④

聯(lián)立以上各式得： ；

(2) 設(shè)粒子射入點(diǎn)坐標(biāo)為時(shí)，到達(dá)P點(diǎn)的速度，豎直分速度為，度偏角為，如圖

則

.........................⑥

.............................⑦

.............................⑧

聯(lián)立①、③、④、⑥、⑦、⑧得： ..........................⑨

設(shè)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B時(shí)，在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R

.............................. ⑩

設(shè)則該粒子從磁場(chǎng)邊界的Q點(diǎn)射出，由幾何關(guān)系得

...............................

聯(lián)立⑥、⑩、得： ................................

則從O、M之間任意點(diǎn)射入的粒子，都會(huì)到達(dá)Q點(diǎn).由⑤、⑨可知：到達(dá)Q點(diǎn)的粒子在水平向左及斜向左下方450的范圍內(nèi)，且水平分速度均為v0，故要使所有粒子都達(dá)到y軸，由幾何關(guān)系知：

..............................

聯(lián)立⑩、、得： .............................

故磁感應(yīng)強(qiáng)度的最大值為 ；

(3) 分析可知，所有粒子在電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t1和離開(kāi)磁場(chǎng)到再次到達(dá)y軸的時(shí)間t3均相等，且

................................

在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間 .............

由 ..................................

聯(lián)立⑩、、得：

...........................

故粒子從y軸上出發(fā)到再次到達(dá)y軸的最短時(shí)間：

。