Question

【題目】如圖所示為過山車簡(jiǎn)易模型，它由光滑水平軌道和豎直面內(nèi)的光滑圓形軌道組成，Q點(diǎn)為圓形軌道最低點(diǎn)，M點(diǎn)為最高點(diǎn)，圓形軌道半徑R＝0.32m.水平軌道PN右側(cè)的水平地面上，并排放置兩塊長(zhǎng)木板c、d，兩木板間相互接觸但不粘連，長(zhǎng)木板上表面與水平軌道PN平齊，木板c質(zhì)量m3＝2.2kg，長(zhǎng)L＝4m，木板d質(zhì)量m4＝4.4kg.質(zhì)量m2＝3.3kg的小滑塊b放置在軌道QN上，另一質(zhì)量m1＝1.3kg的小滑塊a從P點(diǎn)以水平速度v0向右運(yùn)動(dòng)，沿圓形軌道運(yùn)動(dòng)一周后進(jìn)入水平軌道與小滑塊b發(fā)生碰撞，碰撞時(shí)間極短且碰撞過程中無機(jī)械能損失.碰后a沿原路返回到M點(diǎn)時(shí)，對(duì)軌道壓力恰好為0.已知小滑塊b與兩塊長(zhǎng)木板間動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ0＝0.16，重力加速度g＝10m/s2.

(1)求小滑塊a與小滑塊b碰撞后，a和b的速度大小v1和v2；

(2)若碰后滑塊b在木板c、d上滑動(dòng)時(shí)，木板c、d均靜止不動(dòng)，c、d與地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ至少多大？(木板c、d與地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)相同，最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力)

(3)若不計(jì)木板c、d與地面間的摩擦，碰后滑塊b最終恰好沒有離開木板d，求滑塊b在木板c上滑行的時(shí)間及木板d的長(zhǎng)度.

Answer 1

【答案】(1)4m/s 5.2 m/s (2)0.069 (3)1s 1.4m

【解析】(1)根據(jù)題意可知：小滑塊a碰后返回到M點(diǎn)時(shí)：

m1＝m1g

小滑塊a碰后返回到M點(diǎn)過程中機(jī)械能守恒：

m1v＝m1v＋m1g(2R)

代入數(shù)據(jù)，解得：v1＝4m/s

取水平向右為正方向，小滑塊a、b碰撞前后：

動(dòng)量守恒：m1v0＝－m1v1＋m2v2

機(jī)械能守恒：m1v＝m1v＋m2v

代入數(shù)據(jù)，解得：v0＝9.2m/s，v2＝5.2 m/s

(2)若b在d上滑動(dòng)時(shí)d能靜止，則b在c上滑動(dòng)時(shí)c和d一定能靜止

μ(m2＋m4)g>μ0m2g

解得μ>μ0≈0.069

(3)小滑塊b滑上長(zhǎng)木板c時(shí)的加速度大小：

a1＝μ0g＝1.6m/s2

此時(shí)兩塊長(zhǎng)木板的加速度大小：a2＝g＝0.8m/s2

令小滑塊b在長(zhǎng)木板c上的滑行時(shí)間為t，則：

時(shí)間t內(nèi)小滑塊b的位移x1＝v2t－a1t2

兩塊長(zhǎng)木板的位移x2＝a2t2

且x1－x2＝L

解得：t1＝1s或t2＝s(舍去)

b剛離開長(zhǎng)木板c時(shí)b的速度v2′＝v2－a1t1＝3.6m/s

b剛離開長(zhǎng)木板c時(shí)d的速度v3＝a2t1＝0.8m/s

d的長(zhǎng)度至少為x：

由動(dòng)量守恒可知：m2v2′＋m4v3＝(m2＋m4)v

解得：v＝2m/s

μ0m2gx＝m2v2′2＋m4v－ (m2＋m4)v2

解得：x＝1.4m