Question

如圖所示，半徑r=0.8m的光滑圓軌道被豎直固定在水平地面上，圓軌道最低處有一質量為0.4kg的小球（小球的半徑比r小很多）．現給小球一個水平向右的初速度v₀，下列關于在小球的運動過程中說法正確的是（g取10m/s²）（　�。�

• A、v₀≤4m/s可以使小球不脫離軌道
• B、v₀≥4

  2

  m/s可以使小球不脫離軌道
• C、設小球能在圓軌道中做完整的圓周運動，在最低點與最高點對軌道的壓力之差為24N
• D、設小球能在圓軌道中做完整的圓周運動，在最低點與最高點對軌道的壓力之差為20N

Answer 1

分析：要使小球不脫離軌道運動，有兩種情況：一是能越過最高點．二是不越過四分之一圓周．小球經過最高點和最低點時，由重力和軌道的支持力的合力提供向心力，根據牛頓第二定律、牛頓第三定律和機械能守恒結合求出壓力之差．

解答：解：A、B最高點的臨界情況：重力恰好提供向心力，則有：mg=m

v2

r

，解得：v=

gr

根據動能定理得，-mg?2r=

1

2

mv²-

1

2

mv

2 0

解得：v₀=

v2+4gr

=

5gr

=

5×10×0.8

=2

10

m/s．
若不通過四分之一圓周，根據動能定理有：
-mgr=0-

1

2

mv

2 0

解得：v₀=

2gr

=

2×10×0.8

m/s=4m/s
故要使小球不脫離軌道v₀≤4m/s，或v₀≥5m/s
所以v₀≥5m/s或v≥2

10

m/s，故A正確，B錯誤．
C、D設小球能在圓軌道中做完整的圓周運動，在最高點時，
由牛頓第二定律得：mg+N₁=m

v 2 1

r

；①
在最低點：N₂-mg=m

v 2 2

r

；②
從最高點到最低點過程，根據機械能守恒定律得：

1

2

m

v

2 1

+2mgr=

1

2

m

v

2 2

；③
聯立①②③得：△N=N₂-N₁=6mg=6×0.4×10N=24N，即小球在最低點與最高點對軌道的支持力之差為24N，根據牛頓第三定律得知壓力之差也為24N．故C正確，D錯誤．
故選：AC

點評：解決本題的關鍵知道小球在內軌道運動最高點的臨界情況，以及能夠熟練運用動能定理．