Question

如圖17-1所示，Ａ、Ｂ是靜止在水平地面上完全相同的兩塊長木板．Ａ的左端和Ｂ的右端相接觸．兩板的質量皆為M＝2．0ｋｇ，

長度皆為L＝1．0ｍ．Ｃ是質量為ｍ＝1．0ｋｇ的小物塊．現給它一初速度ｖ₀＝2．0ｍ／ｓ，使它從板Ｂ的左端向右滑動．已知地面是光滑的，而Ｃ與板Ａ、Ｂ之間的動摩擦因數皆為μ＝0．10．求最后Ａ、Ｂ、Ｃ各以多大的速度做勻速運動．取重力加速度ｇ＝10ｍ／ｓ^２．

Answer 1

Ａ、Ｂ、Ｃ的速度分別為ｖ_Ａ＝ｖ₃＝0．563ｍ／ｓ，ｖ_Ｂ＝ｖ₂＝0．155ｍ／ｓ，ｖ_Ｃ＝ｖ_Ａ＝0．563ｍ／ｓ．

解析:

先假設小物塊Ｃ在木板Ｂ上移動ｘ距離后，停在Ｂ上．這時Ａ、Ｂ、Ｃ三者的速度相等，設為ｖ，由動量守恒得

ｍｖ₀＝（ｍ＋2Ｍ）ｖ，　　　　　①

在此過程中，木板Ｂ的位移為ｓ，小物塊Ｃ的位移為ｓ＋ｘ．由功能關系得

－μｍｇ（ｓ＋ｘ）＝（1/2）ｍｖ^２－（1/2）ｍｖ₀²，

μｍｇｓ＝2Ｍｖ²／2，

則　－μｍｇｘ＝（1/2）（ｍ＋2Ｍ）ｖ²－（1/2）ｍｖ₀²，②

由①、②式，得

ｘ＝［ｍｖ₀²／（2Ｍ＋ｍ）μｇ］，　　　　　　　　　　③

代入數值得　ｘ＝1．6ｍ．　　　　　　　　　　　　　　　④

ｘ比Ｂ板的長度大．這說明小物塊Ｃ不會停在Ｂ板上，而要滑到Ａ板上．設Ｃ剛滑到Ａ板上的速度為ｖ₁，此時Ａ、Ｂ板的速度為ｖ₂，則由動量守恒得

ｍｖ₀＝ｍｖ₁＋2Ｍｖ₂，　　　　　　　　　　　　　　　　⑤

由功能關系，得（1/2）ｍｖ₀²－（1/2）ｍｖ₁^２－2×（1/2）ｍｖ₂^２＝μｍｇＬ，

以題給數據代入，得

由ｖ₁必是正值，故合理的解是

當滑到Ａ之后，Ｂ即以ｖ₂＝0．155ｍ／ｓ做勻速運動，而Ｃ是以ｖ₁＝1．38ｍ／ｓ的初速在Ａ上向右運動．設在Ａ上移動了ｙ距離后停止在Ａ上，此時Ｃ和Ａ的速度為ｖ₃，由動量守恒得

Ｍｖ₂＋ｍｖ₁＝（ｍ＋Ｍ）ｖ₃，

解得　　ｖ₃＝0．563ｍ／ｓ．

由功能關系得

（1/2）ｍｖ₁²＋（1/2）ｍｖ₂²－（1/2）（ｍ＋Ｍ）ｖ₃²＝μｍｇｙ，

解得　　　ｙ＝0．50ｍ．

ｙ比Ａ板的長度小，所以小物塊Ｃ確實是停在Ａ板上．最后Ａ、Ｂ、Ｃ的速度分別為ｖ_Ａ＝ｖ₃＝0．563ｍ／ｓ，ｖ_Ｂ＝ｖ₂＝0．155ｍ／ｓ，ｖ_Ｃ＝ｖ_Ａ＝0．563ｍ／ｓ．

評分標準　本題的題型是常見的碰撞類型，考查的知識點涉及動量守恒定律與動能關系或動力學和運動學等重點知識的綜合，能較好地考查學生對這些重點知識的掌握和靈活運動的熟練程度．題給數據的設置不夠合理，使運算較復雜，影響了學生的得分．從評分標準中可以看出，論證占的分值超過本題分值的50%，足見對論證的重視．而大部分學生在解題時恰恰不注重這一點，平時解題時不規范，運算能力差等，都是本題失分的主要原因．

解法探析　本題參考答案中的解法較復雜，特別是論證部分，①、②兩式之間的兩個方程可以省略．下面給出兩種較為簡捷的論證和解題方法．

解法一　從動量守恒與功能關系直接論證求解．設Ｃ剛滑到Ａ板上的速度為ｖ₁，此時Ａ、Ｂ板的速度為ｖ₂，則由動量守恒，得?

ｍｖ_０＝ｍｖ₁＋2Ｍｖ₂，

以系統為對象，由功能關系，得

1/2）ｍｖ₀²－（1/2）ｍｖ₁²－2×（1/2）ｍｖ₂²＝μｍｇＬ，

由于ｖ₁只能取正值，以題給數據代入得到合理的解為

由于小物塊Ｃ的速度ｖ₁大于Ａ、Ｂ板的速度ｖ₂，這說明小物塊Ｃ不會停在Ｂ板上．

以上過程既是解題的必要部分，又作了論證，比參考答案中的解法簡捷．后面部分與參考答案相同，不再綴述．

解法二　從相對運動論證，用動量守恒與功能關系求解．

以地面為參照系，小物塊Ｃ在Ａ、Ｂ上運動的加速度為ａ_Ｃ＝μｇ＝1ｍ／ｓ²，Ａ、Ｂ整體的加速度為ａ_ＡＢ＝μｍｇ／2Ｍ＝0．25ｍ／ｓ²，Ｃ相對Ａ、Ｂ的加速度ａ＝ａ_Ｃ＋ａ_ＡＢ＝1．25ｍ／ｓ²．假設Ａ、Ｂ一體運動，以Ａ、Ｂ整體為參照物，當Ｃ滑至與整體相對靜止時，根據運動學公式，有

ｖ₀²＝2ａｓ，

解得　　　　ｓ＝ｖ₀²／2ａ＝1．6ｍ＞Ｌ．

說明小物塊Ｃ不會停在Ｂ板上．