Question

如圖是傳送帶裝運煤塊的示意圖，傳送帶長L=6m，傾角θ=37°，煤塊與傳送帶間的動摩擦因數μ=0.8，傳送帶的主動輪和從動輪半徑相等，主動輪頂端與運煤車底板間的豎直高度H=l．8m，與運煤車車箱中心的水平距離x=1.2m．若以λ=100kg/s的速度把煤塊放在傳送帶底端，煤塊在傳送帶作用下的運動可視為由靜止開始做勻加速直線運動，然后與傳送帶一起做勻速運動，到達主動輪時隨輪一起勻速轉動．已知煤塊在輪的最高點恰好水平拋出并落在車箱中心，全過程傳送帶與輪間不打滑，煤塊視為質點，g取10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8；求：
（1）傳送帶勻速運動的速度v及主動輪和從動輪的半徑R；
（2）動力輪帶動傳送帶因傳送煤塊而增加的功率．

Answer 1

（l）由平拋運動的公式，得x=vt
H=

1

2

gt²
代入數據解得v=2m/s
要使煤塊在輪的最高點做平拋運動，則煤塊到達輪的最高點時對輪的壓力為零，
由牛頓第二定律，得mg=m

v2

R

代入數據得R=0.4m
故傳送帶勻速運動的速度v為2m/s，從動輪的半徑R為0.4m
（2）設動力輪對傳送帶的功率為P，在時間t內有質量為m的煤塊到達最高點，
動力輪做功為W，系統機械能增量為△E，摩擦產生熱為Q，
則有W=Pt，m=λt
△E=mgLsinθ+

1

2

mv²
Q=μmgcosθ?△s
煤塊相對于傳送帶的距離△s=s_傳-s_煤
設煤塊經過t₀時間，速度達到傳送帶速度v，
根據運動學公式t₀=

v-0

a

s_煤=

v2

2a

s_傳=

v2

a

根據牛頓第二定律
μmgcosθ-mgsinθ=ma
根據能量守恒得：W=Q+△E
解得P=7×10³w
答：（1）傳送帶勻速運動的速度是=2m/s及主動輪和從動輪的半徑是0.4m；
（2）動力輪帶動傳送帶因傳送煤塊而增加的功率是7×10³w．