Question

（2009?金山區二模）我國的“嫦娥奔月”月球探測工程已經啟動，分“繞、落、回”三個發展階段：在2007年已發射一顆圍繞月球飛行的衛星，計劃在2012年前后發射一顆月球軟著陸器，在2018年后發射一顆返回式月球軟著陸器，進行首次月球樣品自動取樣并安全返回地球．設想著陸器完成了對月球表面的考察任務后，由月球表面回到圍繞月球做圓周運動的軌道艙．如圖所示，假設返回的著陸器質量為m，月球表面的重力加速度為g，月球的半徑為R，軌道艙到月球的中心距離為r，已知著陸器從月球表面返回軌道艙的過程中需克服月球的引力做功W=mgR（1-R/r）．不計月球表面大氣對著陸器的阻力和月球自轉的影響，則返回的著陸器至少需要獲得多少能量才能返回軌道艙？

Answer 1

分析：著陸器在月球表面上的重力等于萬有引力，列式可得到月球的質量與R、g的關系．軌道艙繞月球做圓周運動，由月球的萬有引力提供向心力，根據牛頓第二定律得到速度與半徑r的關系，即可得到動能與r的關系式．根據能量守恒列式即可求解．

解答：解：設月球的質量為M，著陸器的質量為m，軌道艙的質量為m₀
著陸器在月球表面上的重力等于萬有引力：mg=G

Mm

R2

軌道艙繞月球做圓周運動：G

Mm0

r2

=m₀

v2

r

    
著陸器與軌道艙對接時的動能：E_k=

1

2

mv²          
著陸器返回過程中需克服引力做功：W=mgR（1-

R

r

）．
著陸器返回過程中至少需要獲得的能量：E=E_k+W     
聯解可得：E=mgR（1-

R

2r

）．
答：返回的著陸器至少需要獲得mgR（1-

R

2r

）能量才能返回軌道艙

點評：本題要建立清晰的物理模型，利用萬有引力等于重力，萬有引力等于向心力和能量守恒定律進行求解．