Question

【題目】如圖，平行板電容器兩極間加上電壓U，一質量為m、帶正電荷量為q的粒子，從兩極板正中間的M點由靜止釋放，粒子被電場加速，從下極板正對M點的小孔N飛出；在電容器的下方，有一個邊長為L的正方體絕緣空腔，其截面如圖，正方體的上邊中點正對N孔也開有一小孔P，粒子從電容器飛出后恰好垂直上邊從P飛入正方體空腔，整個空腔處在有上邊界的垂直紙面向里的勻強磁場中；若粒子在正方體空腔中與四壁的碰撞都是彈性正碰（垂直四壁碰撞且碰撞前后速度大小相等、方向相反），且電荷量不變，粒子與空腔四壁除碰撞外無其他相互作用，粒子最終又從P點飛出空腔。不計粒子的重力和阻力，不計碰撞時間，求：

（1）粒子飛入空腔時的速度v0是多大？

（2）若v0為已知，則粒子在空腔中與四壁碰撞次數最少時運動的時間t0是多少？對應的磁感應強度B0是多大？

（3）若v0為已知，求所有滿足條件的磁感應強度的大小，并計算對應的在空腔內運動的時間。

Answer 1

【答案】（1） ； （2）；

【解析】試題分析：粒子被電場加速，由動能定理即可求出加速后的速度；粒子與另外三壁各碰一次且碰撞位置為各邊中點時，碰撞次數最少，根據幾何關系求出半徑和時間，根據牛頓第二定律求出對應的磁感應強度；當粒子的半徑應滿足的關系式為：（n=0，1，2…）時，由洛倫茲力提供向心力求出磁感應強度的大小和對應的在空腔內運動的時間。

（1）粒子被電場加速，由動能定理得：

解得：

（2）粒子與另外三壁各碰一次且碰撞位置為各邊中點時，如圖所示：碰撞次數最少

則運動半徑為有：，

可得：

在磁場中做勻速圓周運動，根據牛頓第二定律：

解得：

（3）粒子的半徑應滿足的關系式為： （n=0，1，2…）

所以：

由洛倫茲力提供向心力：

聯立可得： （n=0，1，2…）

則運動時間為： （n=0,1,2…）