Question

如圖所示，靜放在水平面上的

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圓形（半徑為R）光滑管道ABC，C為最高點，B為最低點，管道在豎直面內．管道內放一小球，小球可在管道內自由移動，現用一裝置將小球鎖定在P點，過P點的半徑OP與豎直方向的夾角為θ．現對管道施加一水平向右的恒力F，同時解除對小球的鎖定，管道沿水平面向右做勻加速運動，小球相對管道仍保持靜止．經過一段時間后管道遇一障礙物突然停止運動，小球能到達管道的A點．重力加速度為g，小球大小及管道內釋不計．求．
（1）恒力作用下圓形管道運動的加速度；
（2）圓形管道從開始運動到突然停止過程中運動距離的可能值．

Answer 1

分析：（1）對小球受力分析，由力的平行四邊表及牛頓第二定律可求得管道的加速度；
（2）當管道停止時，小球沿半徑方向的速度為零，沿切線的方向速度不變；由運動的合成與分解求得徑向速度； 此后由機械能守恒定律及平拋運動的規律可求得小球可能的運動距離．

解答：解：（1）小球受力如圖，由力的平行四邊形定則及牛頓第二定律得：
mgtanθ=ma；
解得a=gtanθ；
即為恒力作用下的圓形管道運動的加速度；
（2）設圓形管道在運動過程中突然停止前進的速度為v，由勻變速直線運動公式得：v²=2as；
圓形管道停止時，小球沿管道半徑方向的速度變為零，沿切線方向的速度保持不變，對速度v沿切向和徑向進行分解，則小球速度變為v′=vcosθ；
小球能運動到管道右側圓心上方至最高點C之間的區域則可返程到達A點，或從C點飛出做平拋運動到達A點；
若小球能運動到管道右側圓心上方至最高點C之間的區域，則由機械能守恒得：

1

2

m（vcosθ）²=mg（Rcosθ+h），其中0≤h＜R
聯立以上相關各式得：

R

sinθ

≤s＜

2R(1+cosθ)

sin2θ

若小球從C點飛出做平拋運動到達A點，則由機械能守恒及平拋運動的規律得：
R=

1

2

gt²，R=v_Ct

1

2

m（vcosθ）²=mgR（1+cosθ）+

1

2

mv_c²
聯立以上相關各式得：s=

R(5+4cosθ)

2sin2θ

圓形管道從開始運動到突然停止過程中運動距離的可能值為：

R

sinθ

≤s＜

2R(1+cosθ)

sin2θ

及s=

R(5+4cosθ)

2sin2θ

點評：本題考查機械能守恒及平拋運動的規律，注意在解題中要正確應用運動的合成與分解，明確在運動中速度的突變．