Question

（2013?佛山一模）如圖所示，傾斜軌道AB的傾角為37°，CD、EF軌道水平，AB與CD通過光滑圓弧管道BC連接，CD右端與豎直光滑圓周軌道相連．小球可以從D進(jìn)入該軌道，沿軌道內(nèi)側(cè)運(yùn)動(dòng)，從E滑出該軌道進(jìn)入EF水平軌道．a(chǎn)、b為兩完全相同的小球，a球由靜止從A點(diǎn)釋放，在C處與b球發(fā)生彈性碰撞．已知AB長(zhǎng)為5R，CD長(zhǎng)為R，重力加速度為g，小球與斜軌AB及水平軌道CD、EF的動(dòng)摩擦因數(shù)均為0.5，sin37°=0.6，cos37°=0.8，圓弧管道BC入口B與出口C的高度差為1.8R．求：
（1）a球滑到斜面底端C時(shí)速度為多大？a、b球在C處碰后速度各為多少？
（2）要使小球在運(yùn)動(dòng)過程中不脫離軌道，豎直圓周軌道的半徑R′應(yīng)該滿足什么條件？若R′=2.5R，兩球最后所停位置距D（或E）多遠(yuǎn)？注：在運(yùn)算中，根號(hào)中的數(shù)值無(wú)需算出．

Answer 1

分析：（1）a球從A運(yùn)動(dòng)至C過程，由動(dòng)能定理列出等式，a、b球在C發(fā)生彈性碰撞，系統(tǒng)動(dòng)量守恒，機(jī)械能守恒列出等式聯(lián)立求解
（2）要使小球b脫離軌道，有兩種情況：情況一：小球b能滑過圓周軌道最高點(diǎn)，進(jìn)入EF軌道．情況二：小球b上滑至四分之一圓軌道的Q點(diǎn)時(shí)，速度減為零，然后滑回D．由動(dòng)能定理列出等式求解．由于a、b碰撞無(wú)能量損失，則由能量守恒定律求解．

解答：解：（1）設(shè)a球到達(dá)C點(diǎn)時(shí)速度為v，
a球從A運(yùn)動(dòng)至C過程，由動(dòng)能定理有
mg(5Rsin370+1.8R)-μmgcos370?5R=

1

2

mv2  ①

可得       v=

5.6gR

②
a、b球在C發(fā)生彈性碰撞，系統(tǒng)動(dòng)量守恒，機(jī)械能守恒，
設(shè)a、b碰后瞬間速度分別為v_a、v_b，
則有mv=mv_a+mv_b③

1

2

mv2=

1

2

mva2+

1

2

mvb2④
由②③④可得   
 v_a=0
vb=

5.6gR

  ⑤
可知，a、b碰后交換速度，a靜止，b向右運(yùn)動(dòng)．
（2）要使小球b脫離軌道，有兩種情況：
情況一：小球b能滑過圓周軌道最高點(diǎn)，進(jìn)入EF軌道．則小球b在最高點(diǎn)P應(yīng)滿足
m

vP2

R′

≥mg⑥
小球b碰后直到P點(diǎn)過程，由動(dòng)能定理，有
-μmgR-mg?2R′=

1

2

mvP2-

1

2

mvb2⑦
由⑤⑥⑦式，可得 R′≤

23

25

R=0.92R
情況二：小球b上滑至四分之一圓軌道的Q點(diǎn)時(shí)，速度減為零，然后滑回D．
則由動(dòng)能定理有
-μmgR-mg?R′=0-

1

2

mvb2⑧
由⑤⑧式，可得     R′≥2.3R
若R′=2.5R，由上面分析可知，b球必定滑回D，設(shè)其能向左滑過DC軌道與a球碰撞，且a球到達(dá)B點(diǎn)，在B點(diǎn)的速度為v_B，
由于a、b碰撞無(wú)能量損失，則由能量守恒定律有

1

2

mv2=

1

2

mvB2+mg?1.8R+2μmgR⑨
由⑤⑨式，可得     v_B=0
故知，a球不能滑回傾斜軌道AB，a、b兩球?qū)⒃贏、Q之間做往返運(yùn)動(dòng)，最終a球?qū)⑼Ｔ贑處，b球?qū)⑼Ｔ贑D軌道上的某處．
設(shè)b球在CD軌道上運(yùn)動(dòng)的總路程為S，由于a、b碰撞無(wú)能量損失，
則由能量守恒定律，有

1

2

mv2=μmgS⑩
由⑤⑩兩式，可得   S=5.6R
所以知，b球?qū)⑼Ｔ贒點(diǎn)左側(cè)，距D點(diǎn)0.6R處，a球停在D點(diǎn)左側(cè)，距D點(diǎn)R處．
答：（1）a球滑到斜面底端C時(shí)速度為

5.6gR

，a、b球在C處碰后速度各為0和

5.6gR

．
（2）要使小球在運(yùn)動(dòng)過程中不脫離軌道，情況一：小球b能滑過圓周軌道最高點(diǎn)，進(jìn)入EF軌道．R′≤0.92R
小球b上滑至四分之一圓軌道的Q點(diǎn)時(shí)，速度減為零，然后滑回D，R′≥2.3R
b球?qū)⑼Ｔ贒點(diǎn)左側(cè)，距D點(diǎn)0.6R處，a球停在D點(diǎn)左側(cè)，距D點(diǎn)R處．

點(diǎn)評(píng)：此題要求熟練掌握動(dòng)能定理、系統(tǒng)動(dòng)量守恒、能量守恒定律、圓周運(yùn)動(dòng)等規(guī)律，包含知識(shí)點(diǎn)多，難度較大，屬于難題．