Question

如圖甲所示，M和N是相互平行的金屬板，OO₁O₂為中線，O₁為板間區(qū)域的中點，P是足夠大的熒光屏．帶電粒子連續(xù)地從O點沿OO₁方向射入兩板間．

（1）若在兩板間加恒定電壓U，M和N相距為d，板長為L（不考慮電場邊緣效應），入射粒子是電量為e、質量為m的電子，求打在熒光屏P上偏離點O₂最遠的粒子的動能
（2）若在兩板間加如圖乙所示的交變電壓u，M和N相距為d，板長為L（不考慮電場邊緣效應）．入射粒子是電量為e、質量為m的電子．某電子在t₀=

L

4v0

時刻以速度v₀射入電場，要使該電子能通過平行金屬板，試確定U₀應滿足的條件．

Answer 1

分析：（1）電子在兩極板間受到與初速度垂直的電場力作用，由牛頓第二定律表示出加速度a，電子在金屬板間的運動時間與初速度和板長有關，由初速度和板長表示出運動時間，偏離O₂最遠的粒子恰好經過金屬板的邊緣，此時在電場力方向上的位移是板間距離的一半，由運動學公式可表示出位移與運動時間的關系式，綜上所述，結合動能定理可求出偏離點O₂最遠的粒子的動能．
（2）由圖先求出交變電壓的周期以及電子通過金屬板的時間，判斷分析電子能通過金屬板的過程，可知進入金屬板的時刻為

3

8

T，射出金屬板的時刻為

15

8

T．根據電子射入時刻和交變電壓的變化規(guī)律，把時間分為4段，即為

3

8

T～

5

8

T、

5

8

T～

11

8

T、

11

8

T～

13

8

T、

13

8

T～

15

8

T，分別求出各時間段的位移，四段的位移之和應不大于

d

2

，列式可求出所加電壓的范圍．

解答：解：
（1）電子在兩極板間的加速度：a=

eU

md

通過金屬板的時間為：t=

L

v

對打在熒光屏P上偏離O₂最遠的粒子有：

d

2

=

1

2

at2
此時粒子的動能為：Ek=

1

2

eU+

1

2

mv2
以上各式聯(lián)立解得：Ek=

eU(d2+L2)

2d2

（2）交變電壓的周期為：T=

2L

3v0

，則有：t0=

L

4v0

=

3

8

T
電子通過金屬板的時間為：t′=

L

v0

=

3

2

T
電子在兩極板間的加速度為：a′=

eU0

md

設電子分別在

3

8

T～

5

8

T、

5

8

T～

11

8

T、

11

8

T～

13

8

T、

13

8

T～

15

8

T時間內沿垂直于初速度方向運動的位移依次為y₁、y₂、y₃、y₄則有：
y1=y3=-a′(

T

2

-t0)2
y2=a′(

3

8

T)2
y4=

1

2

a′ (

T

4

)2
要使電子能通過平行金屬板，應滿足條件：
y1 +y2+y3+y4≤

d

2

以上各式聯(lián)立得：U0≤

8md2 v 2 0

eL2

答：（1）打在熒光屏P上偏離點O₂最遠的粒子的動能為Ek=

eU(d2+L2)

2d2

（2）要使該電子能通過平行金屬板，U₀應滿足U0≤

8md2 v 2 0

eL2

點評：該題首先考察了電場力做功與帶點粒子動能的變化之間的關系，在沒有其他力做功的情況下，電場力所做的功就等于帶電粒子動能的變化．該題還對帶電粒子在交變電壓所形成的電場中運動規(guī)律進行了考察，帶電粒子在交變電場中仍然遵循牛頓運動定律、運動的合成與分解、動量定理、動能定理等力學規(guī)律．此類問題研究的方法與質點動力學相同．在處理此類問題時要把握初始條件，正確分析交變電壓作用下的帶電粒子的受力和運動情況，根據運動和力的關系，構建物理模型，選用合適的規(guī)律解題．