Question

（2011?撫州模擬）如圖所示，勁度系數為k的輕彈簧，左端連著絕緣介質小球B，右端連在固定板上，放在光滑絕緣的水平面上．整個裝置處在場強大小為E、方向水平向右的勻強電場中．現有一質量為m、帶電荷量為+q的小球A，從距B球為S處自由釋放，并與B球發生碰撞．碰撞中無機械能損失，且A球的電荷量始終不變．已知B球的質量M=3m，B球被碰后作周期性運動，其運動周期T=2π

M k

（A、B小球均可視為質點）．
（1）求A球與B球第一次碰撞后瞬間，A球的速度V₁和B球的速度V₂；
（2）要使A球與B球第二次仍在B球的初始位置迎面相碰，求勁度系數k的可能取值．

Answer 1

分析：（1）兩球發生彈性碰撞時滿足動量守恒定律和機械能守恒定律，記住碰后兩球速度的表達式；
（2）A球碰后先向左減速再反向加速兩次時間相等，B球從碰后再回到原位置的時間具有周期性，二者相等即可求解．

解答：解：（1）設A球與B球碰撞前瞬間的速度為v₀，由動能定理得，qES=

1

2

m

v

2 0

                ①
解得：

v

0

=

2qES m

                      ②
碰撞過程中動量守恒得 m

v

0

=m

v

1

+M

v

2

      ③
機械能無損失，有  

1

2

m

v

2 0

=

1

2

m

v

2 1

+

1

2

M

v

2 2

   ④
聯立解得  

v

1

=-

1

2

2qES m

  （ 負號表示方向向左），

v

2

=

1

2

2qES m

，方向向右        
即A球與B球第一次碰撞后瞬間，A球的速度V₁大小為解得

1

2

2qES m

，方向向左；B球的速度V₂大小為

1

2

2qES m

，方向向右．
（2）要使m與M第二次迎面碰撞仍發生在原位置，則必有A球重新回到O處所用的時間t恰好等于B球周期的（n+

1

2

），即t=（n+

1

2

）T，其中n=0，1，2，3…
對A由a=

Eq

m

及

v

1

=at可求出A球回到原碰撞點的時間t=

2v   1

a

，所以有

2v   1

a

=nT+

T

2

   （n=0，1，2，3…）
將T=2π

M K

、

v

1

=

1

2

2qES m

及a=

Eq

m

代入上式可得K=

3π 2   Eq(2n+1 ) 2

2S

  （n=0，1，2，3，…）
即要使A球與B球第二次仍在B球的初始位置迎面相碰，勁度系數k的可能取值為K=

3π 2   Eq(2n+1 ) 2

2S

（n=0，1，2，3，…）

點評：質量為

m

1

的小球以

v

1

與靜止的質量為

m

2

的小球發生彈性碰撞，根據動量守恒定律和機械能守恒定律聯立可得碰后兩球速度分別為

v

′ 1

=

m   1 -m   2

m   1 +m   2

．v

1

，

v

′ 2

=

2m   1

m   1 +m   2

．v

1

；要重視對物理過程的分析和訓練，注意彈簧振子運動的周期性．