Question

（19分）一個質量m =0.1kg的正方形金屬框，其電阻R=0.5Ω，金屬框放在表面絕緣且光滑的斜面頂端（金屬框上邊與AB重合），由靜止開始沿斜面下滑，下滑過程中穿過一段邊界與斜面底邊CD平行、寬度為d的勻強磁場后滑至斜面底端（金屬框下邊與CD重合）。設金屬框在下滑過程中的速度為v，與此對應的位移為s, 那么v²-s圖像如圖所示，已知勻強磁場方向垂直斜面向上，取g=10m/s²

（1）根據v²-s圖像所提供的信息，計算斜面的傾角θ和勻強磁場的寬度d
（2）計算勻強磁場的磁感應強度B的大小；
（3）現用平行于斜面沿斜面向上的恒力F₁作用在金屬框上，使金屬框從斜面底端CD（金屬 框下邊與CD重合）由靜止開始沿斜面向上運動，勻速通過磁場區域后，平行斜面沿斜面向上的恒力大小變為F₂,直至金屬框到達斜面頂端（金屬框上邊與從AB重合）_c試計算恒力 F₁、F₂所做總功的最小值？ （F₁、F₂雖為恒力，但大小均未知） .

Answer 1

（1）30^?  0.5m （2）0.50T  （3）1.95J

試題分析：（1）在v²-s圖中，分析s=1.6m之前的過程，由v²=2a₁s
可知該過程線框的加速度m/s²
根據牛頓第二定律    mgsin=ma₁
解得斜面傾角       =30^?
由于金屬框只在s=1.6m~2.6m之間是勻速運動，可知金屬框的運動情況是下邊緣進入磁場時至上邊緣剛好離開磁場時做勻速運動，所以勻強磁場的寬度   d=L=（2.6-1.6）/2=0.5m
（2）線框通過磁場時，設其速度為v₁，由圖可知，有，解得v₁=4m/s
在該過程中，有 BIL= mgsin,   即 = mgsin
解得    B==0.50T
（3）金屬框進入磁場前有 F₁- mgsin=ma₄
在磁場中運動有F₁= mgsin+F_安
比較兩式得F_安= ma₄
即     解得v=2m/s   a₄=2.5m/s², 所以F_安= ma₄=0.25N，
所以最小總功W_總=F_安×2d+mg（s₁+s₂+s₃） sin=1.95J