Question

如圖所示，地面和半圓軌道面PTQ均光滑。質量M =" l" kg、長L =" 4" m的小車放在地面上，右端與墻壁的距離為s =" 3" m，小車上表面與半圓軌道最低點P的切線相平。現有一質量m =" 2" kg的滑塊(不計大小)以v₀ =" 6" m/s的初速度滑上小車左端，帶動小車向右運動。小車與墻壁碰撞時即被粘在墻壁上，已知滑塊與小車表面的滑動摩擦因數μ = 0.2，g取10 m/s²。求：
(1)判斷小車與墻壁碰撞前是否已與滑塊相對靜止并求小車與墻壁碰撞時滑塊的速度；
(2)若滑塊在圓軌道滑動的過程中不脫離軌道，求半圓軌道半徑R的取值范圍。

Answer 1

（1）小車與墻壁碰撞前滑塊與小車相對靜止； V_t=4m/s （2）R≤0.24m或R≥0.60m

（1）由牛頓第二定律，對滑塊：-μmg=ma₁          (1分)
對小車：μmg=Ma₂          （1分）
但滑塊相對小車靜止時，兩者速度相等，即：
v₀+a₁t=a₂t                  （1分）
此時 v₁=v₂=4m/s              （1分）
滑塊的位移為：s₁=v₀t+a₁t²     （1分）
滑塊與小車的相對位移為：L₁=s₁-s₂          （1分）
聯立解得，L₁=3m，s₂=2m                  （2分）
因L₁<L，s₂<s，說明小車與墻壁碰撞前滑塊與小車已具有共同速度，且共速時小車與墻壁還未發生碰撞，故小車與墻壁碰撞時的速度為：
V_t=4m/s                                   （1分）
（2）與墻碰后滑塊將在小車上繼續向右做初速度為v₁=4m/s，位移為L₂=L-L₁=1m的勻減速運動，然后滑上圓軌道的最低點P。
若滑塊恰能滑過圓的最高點，設滑至最高點的速度為v，臨界條件為
Mg=mv²/R                     （2分）
根據動能定理，有
-μmgL₂-mg·2R=mv²-mv₁²       （2分）
解得 R=0.24m                      （1分）
若滑塊恰好滑至1/4圓弧到達T點時就停止，則滑塊也能沿圓軌道運動而不脫離圓軌道。
根據動能定理，有
-μmgL₂-mgR=0-mv₁²                （2分）
解得R=0.6m                          （1分）
綜上所述，滑塊在圓軌道運動過程中不脫離圓軌道，則半圓軌道的半徑必須滿足：
R≤0.24m或R≥0.60m                   （1分）