Question

如圖所示，一個半徑為R的光滑圓弧軌道APB豎直固定放置，PQ為其豎直對稱軸，∠AOQ與∠BOQ都等于θ。現讓一可看做質點的小球在軌道內側運動，當其沖出A點后恰好可以從B點再進入軌道，所以此運動可以周而復始進行。已知小球質量為m，重力加速度為g，試求：

(1)小球離開軌道后的最高點距直線AB的距離；
(2)若要小球在最低點時對軌道的壓力最小，θ應為多少？對應的最小壓力為多少？

Answer 1

(1)h= (2)N_m=          

(1)物體剛剛沖出A點時，將物體速度分解有

v₁=vcosθ                  (1)
v₂=vsinθ                  (2)
在拋出到最高點過程中，水平方向為勻速直線運動，有
Rsinθ=v₁t                  (3)
豎直方向為勻變速直線運動，末速度為零，時間逆向來看是初速度為0的自由落體運動，有
v₂=gt                      (4)
h=                    (5)
由以上(1)(2)(3)(4)可解得
v=                 (6)
t=             (7)
由(5)得
h=                (8)
(2)設物體在最低點的速度為v'，則物體在從A到最低點過程中，根據動能定理
mgR(1+cosθ)=   (9)
在最低點，由向心力公式，有
N-mg=                (10)
由(6)(9)(10)得
N=    (11)
分析知當θ=45º時，N最大為
N_m=           (12)
評分標準：
(1)問6分，(3)(4)各2分，(5)(8)各1分。
(2)問6分，(9)(10)各2分，結果2分。
本題考查斜上拋運動規律，水平方向不受外力做勻速直線運動，豎直方向只受重力作用做豎直上拋運動，到達最高點時豎直分速度減小到零，先把初速度分解，由水平方向勻速運動求得運動時間，再由豎直方向的運動求得豎直分速度，由豎直上拋運動求得豎直高度，從拋出到最低點，由動能定理列出公式，在最低點，由支持力和重力的合力提供向心力，寫出支持力的表達式，再由數學方法求得最大值