Question

【題目】如圖所示，一半徑為R，內表面粗糙程度處處相同的半圓形軌道豎直固定放置，直徑POQ水平。一質量為m的小球自P點正上方高度R處由靜止開始下落，恰好從P點進入軌道。小球滑到軌道最低點N時，對軌道的壓力為4mg，重力加速度的大小為g，小球可視為質點，不計空氣阻力。

（1）求小球運動到N點時的速度大小；

（2）求小球從P點運動到N點的過程中摩擦力所做的功；

（3）試通過計算分析說明小球能否到達Q點？若不能，請說明理由；若能，請說明小球到達Q點時的速度是否為0。

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）小球一定能達到Q點，且在到達Q點時的速度沒有減小到0

【解析】試題分析：根據小球在N點時的受力情況在豎直方向上應用牛頓第二定律得到小球在 N點的速度；對小球從靜止開始運動到N點的過程應用動能定理求得摩擦力做的功，即小球從P點運動到N點的過程中摩擦力所做的功；分析小球在右半側的摩擦力與左半側摩擦力的情況，然后得到兩邊摩擦力做功的大小關系，再對從靜止到Q點應用動能定理即可．

（1）小球運動到N點時，在豎直方向上只受重力和軌道對球的支持力作用；
小球滑到軌道最低點N時，對軌道的壓力為4mg，由牛頓第三定律可知：軌道對球的支持力為4mg；
故在豎直方向上應用牛頓第二定律可得： ，所以， ；
（2）小球從靜止運動到N點的過程中只有重力、摩擦力做功，而摩擦力只存在于從P點運動到N點的過程中，由動能定理可得：小球從P點運動到N點的過程中摩擦力所做的功；

（3）根據左右對稱關系，在同一高度，由于摩擦力做功使得右半邊的速度變小，軌道的彈力變小，滑動摩擦力變小，因此從N到Q克服摩擦做的功W′小于從P到N克服摩擦做的功W，即。

根據動能定理得Q點的動能為，由于。

所以小球一定能達到Q點，且在到達Q點時的速度沒有減小到0。