Question

勁度系數為k的輕彈簧，豎直放置在地面上，其上端固定有質量為M的鋼板，處于靜止狀態，如圖，現有一質量為m的小球從距鋼板H的高處自由下落并與之發生碰撞，碰撞中無機械能損失．已知M=3m，彈簧振子的周期T=2π

M k

．求：
（1）小球與鋼板第一次碰撞后，小球的速度v₁及鋼板的速度v₂的大小和方向；   
（2）要使小球與鋼板每次都在同一高度相碰（即鋼板的初始位置），求鋼板質量的最大值．

Answer 1

分析：（1）小球碰前做自由落體運動，碰撞過程系統動量和機械能均守恒，根據守恒定律列式后聯立求解即可；
（2）要使小球與鋼板每次都在同一高度相碰，則小球返回時間為鋼板簡諧運動半周期的奇數倍，根據等時性列式后聯立求解；

解答：解：（1）設小球落至鋼板時速度為v₀，由機械能守恒定律得，
mgH=

1

2

mv₀²    ①
碰撞過程中動量守恒，mv₀=mv₁+Mv₂    ②
由于機械能無損失，

1

2

mv₁²+

1

2

Mv₂²=

1

2

mv₀²   ③
聯立①②③式得，v₁=-

1

2

v₀=-

1

2

2gH

，負號表示方向向上，
v₂=

1

2

v₀=

1

2

2gH

，方向豎直向下．
（2）由（1）可知，碰撞后小球做豎直上拋運動，鋼板以

1

2

v₀（連同彈簧）向下做簡諧運動，
要使m與M第二次碰撞仍發生在原位置，則必有小球重新落回到O處所用的時間t恰好對應鋼板的nT+

1

2

T．
而當M取最大值時，必有t=

1

2

T，即t=

v0

g

=

2H g

=π

M K

解得，M=

2Hk

gπ2

．
答：（1）小球與鋼板第一次碰撞后，小球的速度大小是

1

2

2gH

，方向向上，鋼板的速度大小是

1

2

2gH

，方向豎直向下；   
（2）要使小球與鋼板每次都在同一高度相碰（即鋼板的初始位置），鋼板質量的最大值M=

2Hk

gπ2

．

點評：本題關鍵明確小球和鋼板的運動規律，根據動量守恒定律和機械能守恒定律多次列式后聯立求解，第二問找出臨界情況是關鍵，